Re: [obm-l] 3 Problemas de Teoria dos Números [EM INGLÊS]

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

Ok, novamente, com 4 reais positivos  

>>>> 1)Sets of 4 positive numbers are made out of each other according
>>>> to the following rule: (a, b, c, d)  (ab, bc, cd, da).
>>>> Prove that in this (infinite) sequence (a, b, c, d) will
>>>> never appear again, except when a = b = c = d = 1.
>>>

Primeiramente, observe que se há um ciclo, o produto dos termos dessas 
quádruplas deve ser = 1.
Isso porque se f(.) é a função que calcula o produto das quádruplas e 
g(a, b, c, d) = (ab, bc, cd, da), então

f(a, b, c, d) = abcd
f(g(a, b, c, d)) = (abcd)^2
f(g^2(a, b, c, d)) = (abcd)^4
...

Com isso, só pode haver um ciclo se abcd = 1.
Observe também que se há um ciclo (a, b, c, d) -> (ab, bc, cd, da) -> 
... -> (a, b, c, d) então há um ciclo
(ab, bc, cd, da) -> ... -> (ab, bc, cd, da).

Como o produto abcd = 1, fazendo ab = x e bc = y, temos
(x, y, 1/x, 1/y) -> ... -> (x, y, 1/x, 1/y).

Observe que a transformação g sempre preserva a propriedade de que o 
terceiro elemento é o inverso do primeiro e o quarto é o inverso do 
segundo. Logo, para representar a quádrupla, basta olhar para as duas 
coordenadas e para a transformação

(x, y) -> (xy, y/x) -> (y^2, 1/x^2)
se iterarmos a transformação, obtemos
(1/x^4, 1/y^4) -> ... -> (1/y^8, x^8) -> ... -> (x^16, y^16)

Na seqüência infinita de transformação, obtemos todos os pares da forma 
(x^(16^k), y^(16^k)) para k >= 0.
Se (x, y) != (1, 1) então esses pares são todos distintos e, portanto, 
há infinitos pares distintos nas iterações da transformação, mas isso 
implica que a transformação não pode ser cíclica!


Abraços,

Domingos.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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