Re: [obm-l] Problema sobre valor minimo

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 10.03.05 20:27, Marcio M Rocha at ddcristo@bol.com.br wrote:

> Ol�, pessoal.
> 
> Leciono Matem�tica mas n�o tenho experi�ncia com problemas ol�mpicos.
> Como penso que todo professor de matem�tica que se preze deve buscar
> aprender aquilo que n�o sabe (ao inv�s de se acomodar � matem�tica
> "burocr�tica" da maioria das escolas), tenho buscado v�rias fontes.
> Tenho feito algum pequeno progresso, mas vou precisar da ajuda de voc�s.
> Tenho certeza de que contarei com ela.
> 
> Sendo assim, para come�ar, pe�o ajuda com o seguinte problema: Se
> x.y.z.(x + y + z) = 1, qual o valor m�nimo de (x + y).(y + z)?
> 
> Muito obrigado a todos.
> 
> M�rcio.
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Supondo que x, y e z sao reais positivos, teremos:
xyz(x + y + z) = 1 ==>
y^2 + (x+z)y - 1/(xz) = 0 ==>
y^2 + (x+z)y + xz - (1/(xz) + xz) = 0 ==>
y^2 + (x+z)y + xz = 1/(xz) + xz ==>
(x + y)(y + z) = 1/(xz) + xz >= 2 quaisquer que sejam x e z positivos, com
igualdade sss xz = 1 ==>
(x + y)(y + z) >= 2.

O minimo de 2 eh atingido, por exemplo, com x = z = 1 e y = raiz(2) - 1.

[]s,
Claudio.


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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