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Sr (x1,y1) petencer aa curva, a afirmacao
eh trivialmente verificada. Suponhamos entao que nao seja este o caso.
Seja (x,y), y = f(x), um
ponto qualquer da referida curva. Se d eh a distancia de (x1, y1) aa curva, entao d^2 = (x-x1)^2+ (y-
y1)^2 eh uma funcao diferenciavel com relacao a x em todo o R,
pois, por hipotese, f eh diferenciavel. Eh imediato que d^2 eh
limitada inferiormente por 0. Além
disto, d^2 -> oo quando x- > oo ou x-> -oo. Logo, a
continuidade de d^2 implica que
d^2 apresente um mínimo global em R, e sua diferenciabilidade implica
que, neste ponto, (d^2)' se anule.
Aqui, ' significa a
derivada com relação a x.
Minimizar d
eh o mesmo que minimizar
d^2. Temos que (d^2)' = 2*(x-x1) + 2(y -y1)*y'. Se d^2 eh minima em x*, entao neste ponto temos que (d^2)' =
0, o que nos leva a que y' = - (x*-x1)/(y*-y1), y* =
f(x*) e supondo-se x*<>x1 e y*<>y1. .
A reta que passa pelos pontos (x1,y1) e (x*,y*) tem
coeficiente angular m = (y* - y1)/(x*-x1), de modo que m = - 1/y'. Dado que y'
eh o coeficiente angular da tangente aa curva em (x*, y*) sabemos da
geometria analitica que a reta unindo (x1,y1) eh (x*, y*) eh normal aa
curva y = f(x).
Se tivermos x* = x1, entao a tangente aa curva em (x*,
y*) eh horizontal e a afirmacao eh imediatamente verificada. Se y* = y1,
entao a tangente aa curva em (x*, y*) eh vertical, de moso que aa afirmacao eh
imediatamente verficada. A condicao x1=x* e y1=y* nao pode ocorrer, pois (x*,
y*) pertence aa curva y = f(x) e (x1, y1 na pertence.
Artur
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