Re: [obm-l] Numeros no chap�u

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Feb 03, 2005 at 03:04:22AM -0500, Faelccmm@aol.com wrote:
> There are 3 persons (let's call them A,B and C) in a room. Each of them wears 
> a hat with a positive integer number marked on the hat. Each of the three
> persons can see the number on the two other hats, but cannot see the number
> on his/her own hat.
> 
> We tell them that one of the number is the sum of the two other numbers but 
> they don't know which one is the sum of the two others.
> 
> We ask A: Do you know what is your number?
> A looks at B and C, thinks and answers: I don't know.
> 
> Note here that the three persons are very intelligent and if they say that 
> they don't know, it is because there are no possibility for them to deduce
> their number.
> 
> We then ask B: Do you know what is your number?
> B looks at A and C, thinks and answers: I don't know.
> 
> We then ask C: Do you know what is your number?
> C looks at A and B, thinks and answers: Idon't know.
> 
> A thinks a little and say suddenly:
> Wait a minute! Now I know my number! I have 50.
> 
> What numbers have B and C respectively?

Os n�meros s�o 50, 20, 30.

Na primeira jogada A pensou: O meu n�mero � 10 ou 50, n�o sei qual.

Quando B disse que n�o sabia, A n�o se surpreendeu. Ele pensou:
Se eu tiver 10, B fica sem saber se tem 20 ou 40.
Se eu tiver 50, B fica sem saber se tem 20 ou 80.
Em qualquer um dos tr�s casos, ele sabe que eu n�o teria como saber
a resposta.

Mas quando foi a vez de C responder, houve mais expectativa da parte de A.
Se o chap�u dele tivesse um 10, C iria deduzir que o seu (C) tinha 30.
De fato, imaginemos que A tivesse um 10: C veria um 10 e um 20.
Ent�o C pensaria: eu tenho ou 10 ou 30. Se eu tiver 10,
B v� dois chap�us iguais e imediatamente descobre a resposta.
Ora, B (que � inteligente) n�o sabe a resposta: assim eu n�o posso
ter um 10. Donde eu tenho um 30.

Como C n�o fez nada disso, A deduz que o seu � um 50.

N�o vou completar a soluc�o: fica para voc�s pensarem pq esta
� a �nica resposta poss�vel.

Vou propor ainda uma variante:

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H� tr�s pessoas em um quarto, digamos A, B, C.
Cada uma tem um chap�u com um inteiro positivo.
Um dos tr�s n�meros � a soma dos outros dois (mas n�o se sabe qual).
Cada um v� os n�meros nos outros dois chap�us mas n�o v� o pr�prio.
Os jogadores A, B, C s�o extremamente inteligentes.
Estas informac�es s�o conhecimento comum entre A, B, C.
Assim, por exemplo, A confia na intelig�ncia de B e C.

Um juiz entra no quarto e pergunta para A, B, C, A, B, C, A, B, C, ...
se ele sabe o seu n�mero.

(i) Prove que este jogo sempre acaba: sempre chega um momento
em que algu�m descobre o pr�prio n�mero. Al�m disso, este algu�m
� sempre o jogador que tem o maior dos tr�s n�meros (a soma).

(ii) Mostre como calcular a partir da posic�o inicial exatamente
quantas rodadas o jogo demora.

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[]s, N.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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