Re: [obm-l] AJUDA!

[Bruno Bruno <tatunavalha@xxxxxxxxxxxx>]

oi vinicius, fui eu que mandei. Eu queria saber se alguem tinha uma resoluçao baseada em logaritmos, mas até agora nada. A solução que eu tenho é assim:

 

Seja  a = kx  e   b = ky  , onde x e y sao primos entre si

 

(kx)^(ky)^2 = (ky)^kx       =>    (kx)^ky^2 = (ky)^x  ( I )

 

1o caso: Se ky^2 = x , entao x = y , e a=b=1

 

2o caso: Se ky^2 > x  , entao de ( I ) concluimos que:

 

k^(ky^2 - x)  *  x^ky^2  = y^x  (II)

 

de (II) concluimos que x^ky^2 é divisor de y^x , mas como x e y são primos entre si, e ky^2 <>0  , logo x = 1 , e :

 

k^(ky^2  - 1) = y

 

se k = 1  =>  ky^2 = x (não serve)

se k >=2  => 2^(2y^2 - 1) > y (não serve tambem)

 

3o caso: Se ky^2 < x  entao de ( I ) concluimos que:

x^ky^2 = k^(x - ky^2)  *  y^x   (III)

de (III) concluimos que y^x é divisor de x^ky^2 , mas como x e y são primos entre si, logo y = 1 , e :

 

x^k = k^(x-k)   =>  se x = Pk, entao:

 

(Pk)^k = k^(Pk - k) = k^k(P - 1)

P^k = k^k(P-2)

P=k^(P-2)

 

Atribuindo valores a P, temos que:

Se P = 3, k=3, x=9, y=1, a=27, b=3  (27;3)

Se P = 4, k=2, x=8, y=1, a=16, b=2  (16;2)

 

Se P>= 5, entao k^(P-2) > P , o que nao serve.

 

Assim, as unicas soluçoes possiveis sao: (1;1) , (16;2) e (27;3)

 

ps: ainda aguardo alguem que apareça com uma resolucao baseada em logaritmos

vinicius <viniciusmeirelesa@bol.com.br> wrote:

Como q faz esse exercicio da IMO, acho  q um cara mostrou ele aqui outro dia...

 

a^(b^2)=b^a

 

Caso alguem possa me ajudar....

 

Vinícius

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