Re: [obm-l] serie dos inversos dos promos

[kleinad@xxxxxxxxxx]

Artur Costa Steiner (artur@opendf.com.br) escreveu:
>
>Oi pessoal,
>Algum de voces jah estudou, quanto a convergencia, series do tipo Soma( n=1,
>oo)(1/p_n)^k, sendo p_n o n_gesimo primo positivo e k>=1 um real? Eu sei que
>para k=1 a serie diverge. Alguem poderia dar uma sugestao de como podemos
>provar isto?

Uma forma de fazer isso é supondo que a série converge. Se isso ocorre,
então existe um k inteiro positivo tal que Soma( n=k+1, oo)(1/p_n) < 1/2.

Seja Q = p_1*...*p_k o produto dos k primeiros primos, e considere números
da forma 1 + m*Q, onde m = 1, 2, ... . Claramente, todo fator primo desses
números está entre os primos p_(k+1), p_(k+2), ... . Logo, para cada r >= 1,
temos

Soma(m=1, r)(1/(1 + m*Q)) <= Soma(t=1, oo)[Soma(n=k+1, oo)(1/p_n)]^t ,

visto que a soma à direita inclui entre seus termos todos os termos da
esquerda. Mas da observação feita no início,

Soma(t=1, oo)[Soma(n=k+1, oo)(1/p_n)]^t <= Soma(t=1, oo)(1/2)^t = 2

e portanto Soma(m=1, r)(1/(1 + m*Q)) converge. Mas

integral(1, A)(1/(1 + x*Q))dx = (1/Q)*log(1 + A*Q) - (1/Q)*log(1 + Q) -> oo
quando A -> oo.

Logo, pelo teste da integral, este somatório deveria divergir, o que gera a
nossa desejada contradição.

Eu não estou certo quanto a isso, mas acho que há uma demonstração
combinatória desse resultado...

[]s,
Daniel

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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