Re: [obm-l] Um de geometria do Claudio Buffara

[T�rcio Miranda <barzeus@xxxxxxxxxxxxx>]

Porque as diagonais do referido quadril�tero intersectar-se-iam pelo ponto
m�dio, da� um paralelogramo.
Certo?
Saludos
T�rcio Miranda
----- Original Message -----
From: Eduardo Henrique Leitner <eduardo.leitner@terra.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sunday, October 10, 2004 9:35 PM
Subject: Re: [obm-l] Um de geometria do Claudio Buffara


> nao entendih essa parte:
>
> "Da� UMVL seria um paralelogramo!"
>
> por que seria um paralelogramo?
>
>
> eu resolvi esse por tangentes...
>
> no triangulo ABC de mediana AD, tra�amos a altura em rela��o ao v�rtice C
(corta a reta AB em H) e a altura do trangulo ABD em rela��o ao v�rtice D
(corta a reta AB em I)
>
> BHC e BID sao semlhantes pois possuem todos os angulos iguais. Como BC =
2BD, podemos dizer que BH = 2BI, e vamos chamar a medida BI de x, HC de h,
AB de y
>
> finalmente, podemos dizer que tg (IAD) = h/[2(y - x)], tg (BAC) = h/(y -
2x), tg (ABC) = h/2x
>
> com essas equa��es podemos achar uma rela��o entre as tres tangentes que
nao depende nem de h, nem de x e nem de y, portanto, o angulo ABC estah
determinado unicamente pelos angulos IAD e BAC, que sao iguais para o
triangulo PQR e portanto, o angulo PQR eh igual ao angulo ABC e portanto os
triangulos sao semelhantes...
>
> (�, eu tamb�m acho que a minha solu��o deu bem mais trabalho... hehehe)
> e nessa resolu��o eu nao considerei o caso de os angulos em questao serem
retos, mas se o forem eh muito fahcil provar que eles sao semelhantes...
>
>
>
> On Sun, Oct 10, 2004 at 06:20:35PM -0300, T�rcio Miranda wrote:
> > Problema
> > S�o dados os tri�ngulos ABC e PQR, com medianas AD e PS ,
respectivamente. Valem as seguintes igualdades de
> > �ngulos, BAD=QPS e CAD=RPS. Prove que ABC e PQR s�o semelhantes.
> >
> > Fixemos o tri�ngulo ABC no seu plano.
> > Consideremos as semiretas AB e AC. Sobre elas marquemos os pontos L e M
tal que AL=PQ e AM=QR. As hip�teses nos
> > d�o as congru�ncias dos tri�ngulos PQR e ALM (LAL).
> > A reta suporte da mediana AD corta o segmento de reta LM num ponto K, o
qual pelas hip�teses de igualdade de �ngulos
> > BAD=QPS e CAD=RPS, � o ponto m�dio do segmento LM.
> > Agora, se, por absurdo, LM n�o for paralela a BC podemos conduzir por K
uma paralela a BC que cortar� AB e AC (semiretas)
> > nos pontos U e V, respectivamente. Da� UMVL seria um paralelogramo! Um
contradi��o.
> > Ent�o LM � paralela a BC e os tri�ngulos ABC e ALM s�o semelhantes e
temos o resultado.
> >
> > Um abra�o do colega
> > T�rcio Miranda
> >
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> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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