Re: [obm-l] raiz(a+raiz(a+raiz(....

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Esta sequencia que estamos discutindo pode ser generalizada, conforme um dos
colegas afirmou.
Sendo a>=0, definamos 
x[1] = raiz(a)
x[n+1] = raiz(a+x[n])

Para todo u>=0, raiz(a+u) >=u <-> a+u > u^2. Desta inequacao do 2o grau,
resulta que raiz(a+u) >= u <->  0<= u <=  r =(1+raiz(1+4a))/2. Temos que r =
1/2 +(1/2)(raiz(1+4a)), o que, pela desigualdade de Bernouille, implica que
r >= 1/2 + (1/2)(1+2a) = 1+a.
Se 0<=a<=1, entao raiz(a) <= 1 <= 1 + a
Se a>1, entao raiz(a) < a < 1+a, de modo que raiz(a) <= 1+a para todo a>=0.
Logo x[1]<=1+a
Se x[n]<=1+a para algum n, entao x[n+1] =raiz(a+x[n]) <= raiz(1+2a) <=
1+(2a/2) = 1+a, pela desigualdade de Bernouille. Logo x[n] eh limitada
superiormente por 1+a. E como x[n] <=1+a  <= r para todo n, temos, conforme
vimos, que x[n+1] = raiz(a+x[n]) >= x[n], o que mostra que x[n] eh
monotonicamente crescente. Logo, x[n] converge para a raiz postiva de
raiz(a+u) =u, que jah vimos que eh r =(1+raiz(1+4a))/2.

Se a<0, temos uma interessante sequencia complexa. Serah que converge?
Artur

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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