Re: [obm-l] sutileza, o retorno

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Sat, Oct 02, 2004 at 02:18:43AM -0300, Osvaldo Mello Sponquiado wrote:
> Falando em absurdos matem�ticos, eu conhe�o um site 
> muito bom que tem alguns destes absurdos. Vou colocar 
> uma aqui :
> 
> Seja S a soma dos termos infinitos de uma PG de 
> n�meros estritamente positivos com raz�o 2 e a_1=1.
> 
> S = (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ...) => a partir do a2, 
> todos os termos s�o m�ltiplos de 2.
> 
> Se colocarmos o 2 em evid�ncia, teremos:
> 
> S = 1 + 2 . ( 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... ) => como 
> S = ( 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ... ), temos:
> 
> S = 1 + 2.S
> S - 2.S = 1
> 
> S = - 1
> 
> Pergunta: por que o argumento � inv�lido ?

Se � que *�* inv�lida.

� claro que a s�rie 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... diverge no sentido usual.
Em algumas �reas existe muito interesse, entretanto, em defini��es
mais amplas de soma de uma s�rie. Uma tal defini��o � via prolongamento
anal�tico, que d� exatamente a resposta que voc� obteve e o seu argumento
� quase uma demonstra��o. Transforme a sua s�rie em uma s�rie de pot�ncias:
f(x) = 1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + ... = 1/(1-2x) para |x| < 1/2.
Infelizmente, a s�rie n�o converge em x = 1; podemos fazer
o prolongamento anal�tico e teremos um �nico polo em x = 1/2.
O valor de f(1) � de fato -1.

[]s, N.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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