Re: [obm-l] Pequeno teorema de Fermat

[kleinad@xxxxxxxxxx]

Também pode-se provar o teorema usando a noção de grupos. É bem fácil:

Estamos carecas de saber que a função phi(n) de Euler é definida por phi(1)
= 1 e phi(n) = número de inteiros positivos menores que n e relativamente
primos com n (n>1). É fácil ver que U_n = inteiros positivos menores que n e
relativamente primos com ele formam um grupo abeliano com relação à
multiplicação mod n. Este grupo tem ordem phi(n).

Do teorema de Lagrange, se G é grupo finito e x está em G, então o(x) | o(G)
(o(y) = ordem de y) pois o subgrupo cíclico gerado por x tem ordem o(x).
Segue que para todo x, x^(o(G)) = e, onde e é a unidade em G.

Voltando ao U_n, a unidade é 1 e aplicando este resultado para qualquer
número x em U_n, temos x^(phi(n)) = 1. Se n é primo, digamos, n = p, é claro
que U_p = (1, 2, ..., p - 1) e phi(p) = p - 1. O teorema de Fermat segue daí.

[]s,
Daniel

Augusto Cesar de Oliveira Morgado (morgado@centroin.com.br) escreveu:
>
>http://www.utm.edu/research/primes/notes/proofs/FermatsLittleTheorem.html
>Mas a prova por induçao eh muito simples e foi ate esboçada aqui na lista
por
>muitos no caso particular de n^5 - n.
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>
>---------- Original Message -----------
>From: Artur Costa Steiner
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Sent: Thu, 23 Sep 2004 06:26:32 -0700 (PDT)
>Subject: [obm-l] Pequeno teorema de Fermat
>
>> Alguem poderia apresentar ou indicar aonde posso
>> encontrar a demonstracao deste teorema?
>> Obrigado
>> Artur
>>
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