Por indução:
Para n = 0 e n = 1 o resultado é óbvio.
Suponha que para n = 0, 1, ..., k, n^5 e n tenham o mesmo algarismo das unidades, ou seja, o algarismo das unidades de n^5 - n é 0.
(k+1)^5 - (k+1) =
k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1 - k - 1 =
k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 4k =
(k^5 - k) + (5k^4 + 5k) + (10k^3 + 10k^2) =
(k^5 - k) + 5k(k^3 + 1) + 10k^2(k+1).
Agora, repare no seguinte:
1) o último algarismo de k^5 - k é 0, pela hipótese de indução;
2) k(k^3 + 1) é sempre par (por que?) e, portanto, 5k(k^3 + 1) é múltiplo de 10, de forma que o seu último algarismo é 0;
3) obviamente, o último algarismo de 10k^2(k+1) é 0.
OU seja, conseguimos escrever (k+1)^5 - (k+1) como a soma de 3 parcelas, cada uma das quais tem o último algarismo igual a 0. Logo, ...
***
Não há dúvidas que a solução do Ricardo é muito mais elegante.
[]s,
Claudio.
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Tue, 21 Sep 2004 19:10:57 -0300 |
| Assunto: |
[obm-l] novamente k^5 com resposta |
> Fuçando a lista descobri que já tinham postado este exercício
> e havia uma resposta
> GOSTARIA DE SABER SE ALGUÉM SABE FAZER POR INDUÇÃO?
> Provar que para qualquer número inteiro k, os números k e k^5 terminam
> sempre com o mesmo algarismo (algarismo das unidades).
>
>
> Vejam a solução do Ricardo usando congruência
> em dez de 2003
> escrito pelo colaborador da lista
> Ricardo Bittencourt
>
>
> Se você não souber o pequeno teorema de Fermat,
> então dá pra demonstrar isso por indução finita. Se você
> souber, então fica bem mais fácil!
>
> k^5=k (mod 10) é igual às duas afirmações abaixo:
>
> k^5=k (mod 2) e k^5=k (mod 5)
>
> A parte com mod 2 é simples, se k for ímpar,
> então k^5 é ímpar também e o mesmo vale pra pares.
>
> Pelo pequeno teorema de Fermat, k^(p-1)=1 (mod p)
> sempre que p for primo. Mas 5 é primo, então:
>
> k^(5-1)=1 (mod 5)
> k^4=1 (mod 5) e portanto:
> k^5=k (mod 5)
>
> Abraços Hermann
>
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =========================================================================
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