Re: [obm-l] algumas de combinat�ria

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

Andre Silveira Ramos wrote:

> A� pessoal, estou com alguns problemas de combinat�ria que n�o estou 
> conseguindo sair do lugar.
> Preciso de algumas dicas....
>  
>  (i) Considere um conjunto P de 30 pontos do espa�o e P1 um 
> subconjunto de 12 pontos coplanares de P. Sabe-se que sempre que 4 
> pontos de P s�o coplanares, ent�o eles s�o pontos de P1. Quantos s�o 
> os planos que cont�m pelo menos 3 pontos de P?

Tome x pertencente a P \ P1.
Note que x n�o pode ser coplanar com os pontos de P1 pois se fosse 
qualquer escolha de 3 elementos de P1 e o elemento x formariam um 
conjunto de 4 pontos coplanares que n�o est� contido em P1.
Para cada par de elementos distintos {y, z} de P1 o conjunto {x, y, z} 
determina um plano. Como x n�o pertence ao plano de P1 n�o pode haver um 
outro ponto de P no plano determinado por {x, y, z}. Como isso vale para 
cada x escolhido e para cada par {y, z}, o total de planos � dado pelo 
nr. de op��es para x vezes o nr. de pares de pontos de P1 + o nr. de 
planos formados por 3 pontos fora de P1 (cada tripla deve determinar um 
plano diferente) +  1 (o pr�prio plano dos pontos de P1), ou seja
18 * Binomial(12, 2) + Binomial(18, 3) + 1

>   <>(iv) Calcular a soma de todos os n�meros de 5 algarismos distintos 
> formados com os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9.
>  

esses n�meros s�o todas as permuta��es de 13579, podemos quebrar a soma 
desses n�meros em somas das unidades, das dezenas, centenas...
quantos n�meros tem 1 como unidade? claramente, temos 4! maneiras de 
escolher os demais algarismos... e isso tamb�m vale para as outros 
valores das unidades e tamb�m para as posi��es mais significativas dos 
n�meros, ent�o temos
4! (1 + 10 + 100 + 1000 + 10000) (1 + 3 + 5 + 7 + 9) = .
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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