Re: [obm-l] Z[i] e Teorema dos 2 Quadrados

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

Chicao Valadares wrote:

>S�, um detalhe:Vc provou que todo quadrado � uma soma
>de quadrados mas o que a questao pede � que todo
>elemento(quadrado ou nao) � soma de quadrados.
>
>[]�s
>
Voc� leu tudo? O caso em que o elemento � um quadrado � trivial, o outro 
caso t� demonstrado.
A �nica afirma��o que eu joguei sem demonstrar � que o produto de dois 
n�o-quadrados � um quadrado, mas era pra vc pensar um pouco...

A id�ia � bem simples: seja y um elemento de K que n�o � quadrado.
Considere o mapa x -> y*x.
Como x^2 -> y*x^2 e y*x^2 n�o � quadrado, temos que este mapa leva 
quadrados em n�o-quadrados e 0 em 0, para onde devem ir os n�o 
quadrados? claramente, por um argumento de contagem vemos que todos os 
n�o-quadrados devem ser levados em quadrados, ok?

Ok, agora com um simples argumento voc� verifica que para um elemento a 
fixo, a^2 + b^2, com b em K* pode assumir (q-1)/2 valores distintos (e 
nenhum deles � a^2), como h� exatamente (q-1)/2 quadrados e a^2 est� de 
fora, � evidente que existe um elemento n�o-quadrado w = a^2 + b^2 para 
algum valor de b.

Sendo assim, tome um y n�o quadrado, sabemos que w^(-1) � n�o-quadrado 
e, como j� provamos, y*w^(-1) = x^2 para algum x e, portanto,
y = x^2 * w, mas isso mata o problema, pois w � soma de quadrados, mais 
especificamente
y = x^2(a^2 + b^2) = (ax)^2 + (bx)^2.

Espero que tenha sido claro!

[ ]'s
=========================================================================
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================