Re: [obm-l] Z[i] e Teorema dos 2 Quadrados

[Chicao Valadares <chicaovaladares@xxxxxxxxxxxx>]

Só, um detalhe:Vc provou que todo quadrado é uma soma
de quadrados mas o que a questao pede é que todo
elemento(quadrado ou nao) é soma de quadrados.

[]´s
 --- "Domingos Jr." <dopikas@uol.com.br> escreveu: 
> Domingos Jr. wrote:
> 
> > Chicao Valadares wrote:
> >
> >> Ficarei feliz se responderem pelo menos duas
> dessas:
> >>
> >> 1-Sendo K um corpo finito, mostre que todo
> elemento de
> >> K é soma dos quadrados de 2 elementos de
> >> K.Sugestão:Conte os quadrados em K.
> >>  
> >>
> >
> > para todo x, elemento do corpo finito, x^2 =
> (-x)^2 que, por definição 
> > é um quadrado.
> > veja que x^2 = y^2 <=> x^2 - y^2 = 0 <=> (x + y)(x
> - y) = 0 <=>
> > x + y = 0 ou x - y = 0 (pois estamos num corpo e
> vale a regra do 
> > cancelamento)
> > <=> x = +/-y
> >
> > então temos pelo menos (q - 1)/2 quadrados (não
> nulos) no corpo... dá 
> > pra mostrar que
> > isso é exato e que os demais elementos são
> não-quadrados, mas isso eu 
> > deixo pra vc.
> 
> putz, esqueci de argumentar porque isso mata o
> problema...
> além disso, não precisa provar nada pra ver que o
> número de quadrados é 
> exatamente (q - 1)/2 (sem contar o 0), pois é claro
> que todos os 
> quadrados foram contados!
> 
> deixa eu tentar me redimir!
> claramente x^2 = x^2 + 0^2, então pra quadrados a
> afirmação é trivial.
> 
> fixe um elemento a em K,
> a^2 + b^2 não pode ser quadrado para todo b em K^*,
> caso contrário 
> teríamos mais de (q-1)/2 quadrados.
> 
> sendo assim seja z um não-quadrado.
> dá pra ver que para todo par de não-quadrados c, d,
> temos que cd é um 
> quadrado... a idéia é utilizar contagem.
> veja que o produto de quadrados é claramente um
> quadrado e o produto de 
> um quadrado e um não-quadrado é não quadrado, pois
> se
> x^2*z = y^2 <=> z = y^2 *(x^(-1))^2 <= (y.x^(-1))^2
> <=> z é quadrado.
> 
> então, para todo y não quadrado, temos que existe um
> x, com
> x^2 = y.z^(-1) <=> y = z.x^2 <=> y = (a^2 + b^2)x^2
> = (xa)^2 + (bx)^2
> 
> game over!
> 
> [ ]'s
> 
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O que há é pouca gente para dar por isso... "
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