Re: [obm-l] Z[i] e Teorema dos 2 Quadrados

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

Chicao Valadares wrote:

>Ficarei feliz se responderem pelo menos duas dessas:
>
>1-Sendo K um corpo finito, mostre que todo elemento de
>K é soma dos quadrados de 2 elementos de
>K.Sugestão:Conte os quadrados em K.
>  
>

para todo x, elemento do corpo finito, x^2 = (-x)^2 que, por definição é 
um quadrado.
veja que x^2 = y^2 <=> x^2 - y^2 = 0 <=> (x + y)(x - y) = 0 <=>
x + y = 0 ou x - y = 0 (pois estamos num corpo e vale a regra do 
cancelamento)
<=> x = +/-y

então temos pelo menos (q - 1)/2 quadrados (não nulos) no corpo... dá 
pra mostrar que
isso é exato e que os demais elementos são não-quadrados, mas isso eu 
deixo pra vc.

>2-Seja n>=2 natural.Mostre a equivalencia das
>condiçoes:
>i) -1 é um quadrado em Zn.
>ii)n = x^2 + y^2 sendo x,y coprimos.
>iii)n=(2^w).Prod_k=1_n(p^(e_p)), p congruente a 1 mod
>4 , e_p={0,1}, w um natural.
>Notaçao:
>e_p-> Expoente de p 
>Prod_k=1_n(s)-> Produtorio de k=1 a n dos elementos de
>s indexados por k(Na questao, ele nao indexa o k em 
>p^(e_p)).  
>
>3-Seja p primo natural e p congruente a 1 mod 4.Mostre
>que, a menos de associados,existem 2 primos de Z[i]
>conjugados de norma p.Como isso se expressa em termos
>do numero de representaçoes de p como soma de 2
>quadrados de inteiros??O que ocorre se p=2????
>
>4-Demonstre que os n que sao da foram a^2 + b^2, sendo
>a e b naturais, tais que a equaçao n=x^2 + y^2 admite
>somente as soluçoes (a,b) e (b,a) sao aqueles que
>admitem um unico fator primo congruente a 1 mod 4.
>  
>
tá isso tudo você vai encontrar no seguinte livro:
Introduction to the Theory of Numbers, do Hardy

a leitura não é das mais simples mas as suas questões também não são 
bobas...
este livro demonstra quem são os primos em Z[i] e a partir daí você pode 
matar suas dúvidas, em especial, o item 4 vai sair bem fácil.

[ ]'s

Domingos.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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