Re: [obm-l]

["Fabio Dias Moreira" <fabio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Thiago said:
> Estou com dificuldade em resolver a seguinte questão:
>
> a + b + c = 5  e ab + ac + bc = 3  (a, b e c são números reais) qual é o
> máximo valor para c?
> [...]

Considere o polinômio P(t) = t^3 - 5t^2 + 3t - k, onde k = abc. As suas
raízes são a, b e c. Supondo s.p.d.g. a <= b <= c, se queremos maximizar
c, devemos tomar k o menor possível; como o coeficiente líder de P é
positivo, a terceira interseção do gráfico de P com o eixo x está no ramo
ascendente do gráfico. Movendo essa curva para baixo, deslocamos o ponto
de interseção para a direita. No entanto, as três raízes precisam ser
reais. Isso quer dizer que, quando c for máximo, o máximo local da cúbica
acima tangencia o eixo x.

Mas P'(t) = 3t^2 - 10t + 3, que tem raízes 3 e 1/3. Como, novamente, o
coeficiente líder de P é positivo, o máximo local é a menor raiz da
derivada. Logo queremos que P(1/3) = 0, donde k = 13/27, e daí segue que

P(x) = (x - 1/3)^2 * (x - 13/3)

Logo a maior raiz de P é 13/3 e o maior valor de c é 13/3.

[]s,

-- 
Fábio Dias Moreira


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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