Re: [obm-l] Prova da IMC - 1o. dia (correcao)

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

1) Let S be an infinite set of real numbers such that
|s_1 + s_2 + ... + s_k| < 1 for every finite subset
{s_1,s_2,...,s_k} of S. Show that S is countable.


minha sol. está abaixo.















Se S é não-enumerável, há um intervalo [x, y) onde [x, y) inter S é infinito, caso contrário, os conjuntos [i, i+1) inter S, com i inteiro, são finitos e, portanto, enumeráveis, como uma união enumerável (já que os intervalos [i, i+1) são enumeráveis) de conj. enumeráveis é enumerável, S seria enumerável.

podemos assumir que x, y > 0 sem perda de generalidade, pois podemos inverter os sinais de todos os elementos de S e escolher sempre um intervalo com x, y > 0.

seja k >= teto{1/x}
tome s_1, ..., s_k em [x, y) (k elementos distintos de [x, y) formam um conjunto finito), é claro que
s_1 + ... + s_k > k*x >= (1/x)*x = 1.

pra completar, note que o conjunto S = {2^-i | i > 0 inteiro}
é tal que qualquer soma de quaisquer k elementos é menor que 1, basta ver que se X = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
2X = 1 + 1/2 + 1/4 + ...
2X - X = 1 => X = 1.

[ ]'s

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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