[obm-l] Outra da Escola Naval 2004 - Geometria

[João Vitor <jvgp@xxxxxxxxxxxx>]

Geometria:

Considere um triangulo ABC, cujos oas lados AB, BC, AC medem 10cm, 25cm,
 10sqrt(2)cm, respectivamente. Seja CH a Altura relativa ao lado AB. Com
centro
no pto médio do lado BC, traça-se uma circunferência que é tangente a CH no
pto T.
O comprimento desta Circunferência é:

A) 25pi/2

B) 25pi/4

C) 21pi/8

D) 5pi/2

E) 5pi/4


Abraços








----- Original Message -----
From: "Guilherme" <gui@mps.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Saturday, July 17, 2004 4:08 PM
Subject: [obm-l] RES: [obm-l] Geometria plana - correção no enunciado


> Fantástico, Daniel!
> Simples e belo!!!
>
> Muito obrigado,
>
> Guilherme Marques.
>
>
>
> -----Mensagem original-----
> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] Em
> nome de kleinad@webcpd.com
> Enviada em: sábado, 17 de julho de 2004 14:40
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: Re: [obm-l] RES: [obm-l] Geometria plana - correção no enuncia
> do
>
>
> Quero dizer que é desnecessário escolher PC >= PA; mas a localização do
> quadrado com relação ao semi-plano determinado por BP e que contenha C é
> fundamental!
>
> kleinad@webcpd.com escreveu:
> >
> >Essa parte é totalmente desnecessária:
> >==>> "e que esteja contido no
> >semiplano determinado pela reta que passa por PB e que contenha o
> >vértice mais próximo de P dentre A e C. Sem perda de generalidade,
> >vamos supor que tal ponto é C (mesmo que PA = PC)." kleinad@webcpd.com
> >escreveu:
> >>
> >>Considere o quadrado ABCD e tome P no seu interior e trace PA, PB e
> >>PC.
> >>
> >>Construa agora um quadrado que tenha BP como lado e que esteja contido
>
> >>no semiplano determinado pela reta que passa por PB e que contenha o
> >>vértice mais próximo de P dentre A e C. Sem perda de generalidade,
> >>vamos supor que tal ponto é C (mesmo que PA = PC). Seja BEFP esse
> >>quadrado.
> >>
> >>Repare que a diagonal PE mede exatamente PB*sqrt(2). Ora, os segmentos
>
> >>PC, CE e PE obedecem a desigualdade triangular, e temos PC + CE >= PE.
>
> >>Resta mostrar que CE == AP.
> >>
> >>Isso é fácil. Repare que BC == AB (lados do quadrado ABCD) e que BE ==
>
> >>BP (lados do quadrado BEFP). Ainda, os ângulos ABP e BCE são
> >>congruentes, pois ABP = ABE - PBE = ABE - 90 = ABE - ABC = BCE. Logo,
> >>os triângulos APB e BCE são congruentes, e por isso AP = CE.
> >>
> >>Assim, PC + CE = PC + PA >= PE = PB*sqrt(2).
> >>
> >>
> >>[]s,
> >>Daniel
> >>
> >>
> >>Guilherme (gui@mps.com.br) escreveu:
> >>>
> >>>Olá, pessoal,
> >>>
> >>>Desculpe, mas cometi um erro ao digitar o enunciado. O correto seria
> >>>PA
> >>>+ PC  >= sqrt(2).PB
> >>>
> >>>-----Mensagem original-----
> >>>De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] Em
>
> >>>nome de Guilherme Enviada em: sexta-feira, 16 de julho de 2004 19:14
> >>>Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> >>>Assunto: [obm-l] Geometria plana
> >>>
> >>>
> >>>Olá, pessoal!
> >>>
> >>>Aqui vai um problema proposto pela Universidade de Wisconsin. O
> >>>concurso já acabou, em 10 de março de 2004, mas fiquei curioso para
> >>>saber como
> >>>resolvê-lo:
> >>>
> >>>ABCD é um quadrado e P é um ponto interior a ele. Mostre que as
> >>>distâncias PA, PB e PC satisfazem a inequação PA + PC  >= PB  (maior
> >>>ou igual). (Na verdade, é irrelevante o fato de P ser interior ao
> >>>quadrado. A inequação é válida para todos os pontos P no plano).
> >>>
> >>>Agradeço a ajuda.
> >>>
> >>>Um grande abraço,
> >>>
> >>>Guilherme Marques.
> >>>
> >>>
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> >>>===
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> >>>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >>>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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> >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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