[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com uma demonstração sobre espaços de Baire

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Oi Ana
Seja bem vinda!

Vou dar algumas dicas.  Mostre que:

1) Se X eh um espaco de Baire, entao subconjuntos magros (isto eh, de
primeira categoria na classificacao de Baire) que sejam densos em X naum sao
G-delta.

2) Se X eh um espaco topologico qualquer e f eh uma funcao de X em R, entao
o conjunto dos elementos de X nos quais f eh continua eh um G-delta.   

(1) e (2) mostram que a proposicao eh verdadeira.

Para mostrar (1), uma forma facil eh mostrar que, em espacos de Baire,
conjuntos que naum sejam magros mas tenham interior vazio naum sao F-sigma.
Isto prova o desejado porque.....

Para provar (2), acho que eh um pouco mais complicado (pelo menos, ateh onde
eu consigo ver). Uma forma que me parece interessante eh considerar o
conceito de oscilacao, o qual se aplica a funcoes definidas em um espaco
topologico X e que tenha valores em R (na realidade, os valores podem estar
em qualquer espaco metrico). 
Se A eh um subconjunto de X, a oscilacao de f em A eh W(A) = sup {|f(x1) -
f(x2)| :  x1 e x2 estao em A}. Ou seja, W(A) eh o diametro do conjunto
imagem f(A).
Se x estah em X, a oscilacao de f em x eh dada por w(x) = inf {W(V) : V
pertence a U}, sendo U a colecao de todas as vizinhancas de x. (Na
realidade, podemos nos restringir a vizinhancas basicas, como bolas abertas
se X for um R^n. Neste caso, podemos inclusive nos restringir aa colecao
enumeravel das bolas abertas de centro em x e raiod 1/n, n natural.). Um
fato interessante, cuja demonstracao naum eh dificil e eh instrutiva, eh que
f eh continua em x se, e somente se, w(x) = 0.

De posse destes conceitos, mostre entao que:
(2a) - para todo r>0, o conjunto C(r) = {x em X : w(x) < r} eh aberto em X.

Seja C o conjunto dos elementos de X nos quais f eh continua. Considere a
colecao de conjuntos abertos {C(1/n) : n eh natural}. Uma certa operacao
realizada nesta colecao dah um resultado que tem a cara de C (2b). Temos
entao que (2a) e (2b) provam 2, e acabou.

Certamente hah outras formas de se provar a proposicao.
Artur


--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: [obm-l] Ajuda com uma demonstração sobre espaços de Baire
Data: 15/07/04 17:33

Oi pessoal da lista, um abraço, para todos, acabei de
me inscrever!

Eu gostaria de algumas dicas para a seguinte
demonstração:

Sejam X um espaco de Baire e D um subconjunto de X que
seja denso em X e de primeira categoria (isto é, D
está contido na união de uma colecao enumerável de
conjuntos fechados que tenham interior vazio). Não
existe, então, nenhuma funcão de X em R (os reais) que
seja contínua exatamente em D (isto é, contínua em
todo elemento de D e descontínua em todo elemento não
pertencente a D).

Eu estou me confundindo nesta demonstração.
Obrigada.
Ana

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