Esquecam a conta para a volta do problema. Os argumentos geometricos tradicionais usando a ida funcionam sim e a solucao fica bem mais simples.. (embora na primeira tentativa eu tenha desistido e ido pra conta). Quem vai ser boa alma que vai postar aqui o desempenho do Brasil na prova? Estou torcendo pra ver que todos fizeram a 5 por complexos :)
Suponha AP=CP e olhe para o circuncirculo i de ABC. Extenda BD até D' em i. O quadrilatero ABCD' da origem a um novo ponto P' na reta BP satisfazendo as condicoes de angulo do enunciado, e pela ida, P'A=P'C. Logo P' esta na mediatriz de AC e em BP, donde P'=P e entao D=D' esta em i.
Obs: Pensei bastante na 6 mas travei. Aceito sugestoes! Conjecturo que todo n funciona. Isso deve valer 0 ponto :)
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Suponha ABCD ciclico. Escolha os eixos tq aa'=bb'=cc'=dd'=1. => [(p-b)/(c-b)]/[(a-b)/(d-b)] eh real => (p-b)(d-b)/[(c-b)(a-b)] = (p'-b')(d'-b')/[(c'-b')(a'-b')]. Usando que c'-b'=1/c - 1/b =-(c-b)/bc, (c-b)/(c'-b')=-bc isso vira: bd(p-b) = -cbab(p'-1/b), ou seja: d(p-b) = -ac(bp'-1) Trocando b por d, a outra condicao portanto eh: b(p-d) = -ac(dp'-1) Subtraindo as equacoes: p(d-b) = -acp'(b-d), ou p + acp' = 0, ou seja, p esta na mediatriz da corda AC, e portanto AP=AC.