Re: [obm-l] O que é seno hiperbolico?

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, Jul 13, 2004 at 04:25:44PM -0300, allanper wrote:
> Alguém poderia me informar o que é sen hiperbólico?

Definimos o seno e cosseno hiperbólicos por:
senh t = (e^t - e^(-t))/2,  cosh t = (e^t + e^(-t))/2.

A partir daí definimos
tanh t = (senh t)/(cosh t), coth t = 1/(tanh t),
sech t = 1/(cosh t), csch t = 1/(senh t).

Estas funções satisfazem identidades semelhantes às que você
deve ter estudado para as funções trigonométricas, por exemplo:

cosh^2 t - senh^2 t = 1,
cosh(a+b) = cosh a cosh b + senh a senh b,
senh(a+b) = senh a cosh b + cosh a senh b,
tanh(a+b) = (tanh a + tanh b)/(1 + tanh a tanh b).

Esta última fórmula lembra muito a fórmula usada para somar velocidades
em relatividade; não é coincidência.

As famílias a um parâmetros de matrizes (vou escrever tudo por linhas,
usando colchetes para separar as linhas da matriz; é mais fácil de escrever
e todo mundo lê)

R(t) = [[cos t, -sen t], [sen t, cos t]]
T(t) = [[cosh t, senh t], [senh t, cosh t]]

são uma das muitas explicações para o interesse destas funções.
A primeira dá rotações por um ângulo t; a segunda não tem uma
interpretação tão simples com a geometria euclidiana comum mas ambas
são homomorfismos, i.e., satisfazem

R(a+b) = R(a) R(b), T(a+b) = T(a) T(b).

Outra forma de relacionar as funções trigonométricas usuais com as
funções hiperbólicas é passar para os números complexos.
As funções sen e cos tem extensões únicas para funções deriváveis
de C em C; estas funções podem por exemplo ser obtidas a partir das
séries de Taylor:

sen z = z - z^3/3! + z^5/5! - z^7/7! + ...
cos z = 1 - z^2/2! + z^4/4! - z^6/6! + ...

o que nos dá facilmente

sen it = i senh t, cos it = cosh t.

A parametrização t -> (cosh t, senh t) para o ramo direito da hipérbole
equilátera tem a propriedade de varrer áreas iguais em tempos iguais.
Outra propriedade é que, se usarmos a métrica de Minkowsky para medir
comprimentos, ela varre comprimentos iguais em tempos iguais; devemos
tomar |(x,y)| = sqrt(y^2 - x^2).

Outra aplicação das funções hiperbólicas é para estudar geometria
hiperbólica: já passei perto deste assunto quando falei de somar
velocidades em relatividade (o espaço dos vetores velocidade na
relatividade é o espaço hiperbólico), quando falei das matrizes T
(que podem ser interpretadas como translações no plano hiperbólico)
e quando falei da métrica de Minkowsky. Existe, por exemplo, uma lei
dos cossenos em geometria hiperbólica:

cosh a = cosh b cosh c - cos A senh b senh c

onde a, b e c são os lados de um triângulo e A, B e C são os ângulos.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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