Re: [obm-l] IMO 2004 - Primeiro Dia

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

Legal! Eu vi que x^4 servia um pouco antes do Paulo Rodrigues mandar uma 
mensagem, devia ter testado ele antes...

É simples ver que se f é um polinômio que satisfaz a equação funcional 
então C.f também satisfaz, pois (C.f)(x) = C.f(x). Da mesma forma, se f 
e g são polinômios que satisfazem a eq. funcional, (f + g) também 
satisfaz já que (f+g)(x) = f(x) + g(x).

Eu fiquei pensando em limitar o grau do polinômio (que é o que você 
fez). Como você chegou em (-x, 1+x, x+x^2)? Foi por tentativa e erro?

Sem dúvida essa escolha foi essencial pra matar o problema... eu não 
conferi suas contas, mas deve ser isso mesmo.

[ ]'s

> ********SOLUCAO DO 2********
> 2. Note primeiro que f eh par (a=b=c da f(0) = 0 e dai ponha (a,b,c) = 
> (-2c,-2c,c) por exemplo).
>     Ponha (a,b,c) = (-x, 1+x, x+x^2) e note que ab+ac+bc = 0 para todo x 
> real (a idéia aqui foi arriscar um pouco fazendo a=-1 e depois limpar 
> denominadores).
>     Substituindo a,b,c na eq. funcional:  f(2x+1) + f(x^2-1) + f(2x+x^2) 
> = 2*f(x^2+x+1) p/ todo x real  (*)
>     Como f eh um polinomio par, escreva f(x) = a*x^n + b*x^(n-2) + 
> ...graus menores.
>     Compare agora os coeficientes de x^(2n-2) em cada lado de (*). Para 
> 2n-2>n (i.e, n>2), o termo f(2x+1) nao influencia e nessa 
> comparacao (usando binomio de newton) soh os coeficientes com "a" 
> interferem, dando algo como  a*[-n + 4Binomial(n,2)] = 2a*[Binomial(n,2) 
> + n], donde n = 0 ou n = 4.
>     Logo, estamos restritos a f(x) = p*x^4 + q*x^2 .Aqui, para a conta 
> nao ficar grande, note que f(x)=qx^2 claramente satisfaz as condições do 
> problema para qualquer q. Mais ainda, pondo f(x) = g(x) + q*x^2, note 
> que f satisfaz o problema sse g satisfaz. Logo, basta mostrar que 
> g(x)=p*x^4 tmb satisfaz a igualdade.     Isso demorou um pouco pra mim 
> (eu inclusive cheguei a achar q nao funcionava):
>     Mas funciona. Meu modo de ver isso foi o seguinte: Pondo f(x) = 
> p*x^4 e a condicao em (a,b,c) voce cai num problema todo homogeneo. 
> Logo, vc pode fazer spg a = -1, donde b = c/(c-1). Escrevendo c=1+x e 
> multiplicando tudo por x, vc conclui q soh precisa mostrar p/ 
> (a,b,c)=(-x,1+x,x+x^2), ou seja, eh soh testar em (*). Ai eu comparei no 
> braço os 2 polinomios de grau 8.. Talvez vcs achem mais facil substituir 
> direto na eq. funcional.
>     Conclusao: Os unicos polinomios que satisfazem o enunciado sao 
> aqueles da forma f(x) = p*x^4 + q*x^2, com p,q reais.
>    
>    
>     Abraços aos que leram até aqui!
>     Marcio!"
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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