Re: [obm-l] IMO 2004 - Primeiro Dia

["Paulo Rodrigues" <pauloemanu@xxxxxxxxxx>]

x^4 também funciona.

Paulo
----- Original Message -----
From: "Domingos Jr." <dopikas@uol.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Tuesday, July 13, 2004 3:25 PM
Subject: Re: [obm-l] IMO 2004 - Primeiro Dia


> A prova do primeiro dia da IMO (em inglês), está em
>
> http://www.teorema.mat.br/imo20041.pdf
>
> Paulo
> <http://www.teorema>


Gostei do segundo... Eu conjecturo que a resposta é f(x) = C.x^2, para
qualquer constante real C.

Algumas idéias:

Se a = b = c = 0, temos
3f(0) = 2f(0) => f(0) = 0

Se b = c = 0, a fica livre (pois ab + bc + ac = 0 independente do valor
de a).
f(a-b) + f(b-c) + f(c-a) = f(a) + f(0) + f(-a) = f(a) + f(-a)
e f(a+b+c) = f(a), logo
f(a) + f(-a) = 2f(a) => f(a) = f(-a) para todo a real => f é função par.

Seja u um real, note que se (a, b, c) é uma tripla satisfazendo ab + bc
+ ac, temos que u(a, b, c) = (ua, ub, uc) também satisfaz (ua)(ub) +
(ub)(uc) + (ua)(uc) = u^2(ab + bc + ac) = 0.

Sendo assim,
f(u(a-b)) + f(u(b-c)) + f(u(c-a)) = 2f(u(a+b+c)) para todo u real.
Podemos então encarar a igualdade acima como uma igualdade de duas
funções de u, e podemos aplicar derivadas a ambos os lados já que f é de
classe C^oo.

Se f é um polinômio de grau 2n, a 2n-ésima derivada de f é constante (o
coeficiente líder do polinômio).

Veja que d^k [f(u(a-b))]/du = (a-b)^k * f^(k)(u(a-b)) --
onde f^(k)(x0) é a k-ésima derivada de f aplicada em x0.
Como f^(2n)(x) = alpha (constante), devemos ter
(a-b)^2n + (b-c)^2n + (c-a)^2n = 2(a+b+c)^2n.

Agora vem a conjectura: parece que o lado direito cresce mais (com
relação a n) que o lado esquerdo... mas isso é palpite, precisa fazer
conta pra mostrar algo do tipo...

[ ]'s
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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