Re: [obm-l] análise I

[Lista OBM <obm_lista@xxxxxxxxxxxx>]

Suponha o contrário, i.e., para cada y pertencente a f([a,b]) existe exatemente dois pontos x e z em [a,b] tais que f(x) = f(z) = y. Como f é contínua, temos que f([a,b]) = [c,d], e existem x_0 e x_1 em [a,b] tais que f(x_0) <= f(x) <= f(x_1), para todo x em [a,b] (Teorema de Weierstrass). Pela propriedade de f, existe x´_1 em [a,b] t.q. f(x´_1) = f(x_1). Assim, existe delta > 0 t.q., nos intervalos [x_1 - delta, x_1), (x_1, x_1 + delta] e [x´_1 - delta, x´_1) [estamos supondo x´_1 <> a e x_1 diferente (<>) de a e b] a função assume valores menores que f(x´_1) = f(x_1). Seja m o maior desses dos números f(x_1 - delta), f(x_1 + delta) e f(x´_1 - delta). Observe que

 

f(x_1 - delta) <= m < f(x_1),  f(x_1 + delta) <= m < f(x_1) e f(x´_1 - delta) <= m < f(x´_1).

 

Daí, pelo T.V.I., tem-se que existe M em [x_1 - delta, x_1), N em (x_1, x_1 + delta] e P em [x´_1 - delta, x´_1) t.q. f(M) = f(N) = f(P) = m, o que é um absurdo, pois existe 3 valores em [a,b] e não dois que em m.

 

Se x_1 = a, basta pegarmos os intervalos (a, a + delta], [x´_1 - delta, x´_1) e (x´_1, x´_1 + delta] e aplicarmos o raciocínio anterior.

E se x_1 = b e x´_1 = a fazemos o raciocínio análogo ao primeiro no ponto x_0 em vex de x_1.

 

Obs.: Veja tudo que o que foi dito geometricamente, assim você entenderá melhor.

 

Éder.  

kirchhoff <bruno_kir@ig.com.br> wrote:

> oi pessoal... tô com uma dúvida nessa questão... poderiam me ajudar??? 
> 14) prove que não existe f: [a,b] ->R contínua, tal que se y pertence a 
> imagem de f, então a equação f(x) = y tem exatamente duas soluções. 
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