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Olá Cláudio,
Problema original
"Encontrar a condição necessária e suficiente que deve ser verificada para
que qualquer termo de uma progressão aritmética infinita seja a soma de dois
termos, da mesma progressão. "
Fiquei curioso com a definição que você deu para PA
infinita.
"Normalmente, quando falamos numa PA infinita,
queremos dizer infinita em ambas as direcoes, ou seja a PA eh {a + n*r | n
pertence a Z}."
Qual a definição que você utiliza para
PA?
Eu utilizo a seguinte:
"Uma progressão aritmética é uma sequência
(a_n) tal que
a_(n+1) - a_n=r, para todo n natural não nulo.
A constante r é chamada razão da progressão aritmética."
Neste ponto é necessário entender uma
sequência como uma função cujo domínio é o conjunto dos números
naturais (ou naturais não nulos dependendo do gosto
de cada um!).
Sabemos que existe uma bijeção entre os números
naturais e os inteiros.
Entretanto eu não consigo
visualizar nenhuma que satisfaça a definição de PA (que eu
utilizo!).
Além destas questões de definição
há outra:
Sabemos que algumas vezes em matemática utilizamos
dois como sendo dois ou um. E foi o que você fez!
Eu considerei dois como sendo dois
distintos.
Neste ponto gostaria muito da
colaboração de todos da lista pois as respostas não serão equivalentes se
utilizarmos a palavra dois com significados
diferentes.
Pois:
O enunciado diz que cada termo é a soma de
dois termos desta mesma PA.
E você considera o termo zero duas vezes. Assim
você está considerando apenas um termo.
Outro ponto em que tenho dúvidas é na sua
demonstração.
Você supõe que a PA possui termo não negativo. E
toma a como sendo o menor dentre os termos não negativos, certo? Assim o a teria
que ser o zero necessariamente (0 é o menor termo não negativo!) e a-r
<>0 para r<>0.
Outro problema é : uma PA poderia não possuir
termos positivos e negativos por exemplo se
consideramos (0,r,2r,3r,...) com r
negativo.
Para finalizar quero destacar que esta
discussão é bastante salutar e estou aprendendo muito com
ela!
Agradeço sua participação!
[ ],s
Fernando
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