Re: [obm-l] Área máxima

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

> Gostaria de saber como faço pra achar o triângulo de área máxima inscrito numa
> circunferência. É o eqüilátero? E o polígono de n lados com área máxima e inscrito
> numa é sempre o polígono regular de n lados? Obrigado


Vamos ver se eu faço essa (nem sou mto forte em geometria, hehehe).
Se tivermos um polígono inscrito numa circ., podemos traçar linhas a 
partir do centro até os vértices (essas linhas podem ser degeneradas e 
coincidir com um lado do polígono).

Sejam então 2a_1, 2a_2, ..., 2a_k os k ângulos formados pelos triângulos 
que consistem em um lado do polígono inscrito e dois lados são raios da 
circ.

Se a circ. tem raio 1, um pouco de trigonometria nos diz que a área do 
i-ésimo triângulo é dada por sen(a_1)cos(a_1) = sen(2a_1)/2.

Então temos a função f(a_1, ..., a_k) = 1/2 soma_{i=1}^k sen(2a_i).
Desejamos maximizar f sujeito a restrição soma_{i=1}^k a_i = PI.

Utilizando Lagrange, temos a missão de maximizar
L(.) = 1/2 soma_{i=1}^k sen(2a_i) - p[soma_{i=1}^k a_i]

del L / del a_i = cos(2a_i) - p
logo del L / del a_i = 0 <=> p = cos(2a_i)
como isso vale para todo i, temos que p = cos(2a_1) = ... = cos(2a_k)
como 2a_i <= pi , a_1 = a_2 = ... = a_k, logo o polígono é regular.

acho que é isso!

[ ]'s
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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