Se A_4 tem um subgrupo H de ordem 6, então H será isomorfo a Z_6 ou S_3.
A_4 não tem nenhum elemento de ordem 6 ==>
H não pode ser isomorfo a Z_6 ==>
H ~ S_3 ==>
H = {e, a, a^2, b, ab, a^2b} com a^3 = b^2 = e, ba = a^2b.
o(a) = 3 e o(b) = 2 com a e b em A_4 ==>
a = 3-ciclo e b = produto de 2 transposições.
Suponhamos s.p.d.g. que a = (123) ==> a^2 = (132).
Os candidatos a b são (12)(34), (13)(24) e (14)(23).
Calculando os valores respectivos de ba e a^2b, teremos:
ba: (243), (142), (134)
a^2b: (234), (124), (143).
Ou seja, em todos os casos, a^2b <> ba ==>
H não pode ser isomorfo a S_3.
Como Z_6 e S_3 são os únicos grupos de ordem 6 (a menos de um isomorfismo), concluímos que A_4 não possui nenhum subgrupo de ordem 6.
[]s,
Claudio.
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
| Data: |
Thu, 1 Jul 2004 07:23:20 -0300 (ART) |
| Assunto: |
Re:[obm-l] Algebra |
> Claudio,
>
> tentei provar sua dica (A_4 não tem subgrupos de ordem 6) e não consegui. Como devo proceder?
>
> Grato Éder.
"claudio.buffara" <claudio.buffara@terra.com.br> wrote:
>
>
>
| De: |
owner-obm-l@mat.puc-rio.br |
>
| Para: |
obm-l@mat.puc-rio.br |
>
| Data: |
Tue, 29 Jun 2004 09:53:45 -0300 (ART) |
> > Gostaria de saber se tem uma forma simples de descrever todas as permutações do grupo A_4 (A_4 = subgrupo das permutações pares de S_3). Consegui descrever, mas foi com muita conta - mais ou menos na base da tentativa.
>
> Usa a notacao de ciclos e lembre-se de que uma permutacao par tem um numero par de ciclos de ordem par. Alias, tenho certeza de que voce quis dizer que A_4 = subgrupo de permutacoes pares de S_4.
> A_4 consiste da identidade, dos oito ciclos de ordem 3 e das tres composicoes de 2 transposicoes.
>
> > Outra dúvida: como calcular todos os subgrupos de D_4, S_3, Z/2Z X Z/2Z, A_4. Tem que ser no "braço"?
> >
> Mais ou menos. Uma ideia eh usar o teorema de Lagrange, pra limitar as possibilidades quanto aos tamanhos dos subgrupos.
> Depois, leve em conta que os unicos grupos de ordem 4 (a menos de isomorfismos) sao o ciclico e o grupo de Klein (onde todos os elementos diferentes da identidade tem ordem 2).
> Finalmente, uma dica: A_4 nao tem subgrupos de ordem 6.
>
> []s,
> Claudio.
>
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