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RE: [obm-l] o valor de x - continuacao

To: <obm-l@xxxxxxxxxxxxxx>
Subject: RE: [obm-l] o valor de x - continuacao
From: Rog�rio Moraes de Carvalho <rogeriom@xxxxxxx>
Date: Sun, 6 Jun 2004 08:18:51 -0300
In-Reply-To: <BCE625DE.573F%claudio.buffara@terra.com.br>
Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Thread-Index: AcRKT4W/ESpuS+7CRwyX2FcwDz4TXAAADHTQ
Ol� Claudio,
	
	Se voc� analisar o seu questionamento original, voc� poder� concluir
que eu j� havia o respondido. Veja a transcri��o do seu questionamento
original abaixo.
"O problema que eu proponho eh:
Explique porque (1+raiz(17))/2 nao satisfaz a equacao original."

	A resolu��o que eu apresentei justifica porque (1+raiz(17))/2 n�o
satisfaz a equa��o original na passagem destacada a seguir:
"x = [1 + sqr(17)]/2 (N�o satisfaz, pois apesar de satisfazer a primeira
parte da condi��o geral 0 <= x <= 5 n�o satisfaz a segunda, pois pela
igualdade (ix) y = 1 - x => y = 1 - [1 + sqr(17)]/2 => y = [1 - sqr(17)]/2,
ou seja, y < 0.)"

	Agora, voc� est� fazendo outro questionamento, ou seja:
"de onde vieram as tres raizes adicionais, especialmente a outra raiz
positiva." 

	Segue uma an�lise do motivo de termos encontrados as tr�s ra�zes
adicionais, baseando-se num trecho da resolu��o que eu apresentei.


POSS�VEL AN�LISE DO MOTIVO DO SURGIMENTO DAS TR�S RA�ZES ADICIONAIS:

	Segue um trecho da resolu��o que eu apresentei:

"Fazendo y = sqr(5 - x) (i), teremos:
x = sqr(5 - y) (ii)

Seguem as condi��es que permitem a equival�ncia das igualdades (i) e (ii)
mesmo ap�s elevar ambos os membros ao quadrado.
Igualdade (i): y >= 0 e 5 - x >= 0 <=> x <= 5 (iii) Igualdade (ii): x >= 0 e
5 - y >= 0 <=> y <= 5 (iv)

Das condi��es (iii) e (iv), chegamos a uma condi��o geral:
0 <= x <= 5 e 0 <= y <= 5 (v).

Se for satisfeita a condi��o geral (v), poderemos elevar ambos os membros
das igualdades (i) e (ii), ou seja:
y^2 = 5 - x <=> y^2 + x = 5 (vi)
x^2 = 5 - y <=> x^2 + y = 5 (vii)

Aplicando a propriedade transitiva da igualdade em (vi) e (vii), teremos:
y^2 + x = x^2 + y <=> y^2 - x^2 - y + x = 0 <=> (y - x)(y + x) - (y - x) = 0
<=> (y - x)(y - x - 1) = 0 <=> y = x (viii) ou y = 1 - x (ix)"

	Neste trecho, dentre outras coisas, eu deduzi a condi��o geral que
deve ser satisfeita para que as ra�zes encontradas sejam realmente ra�zes da
equa��o original. Usando esta condi��o geral, eu eliminei as seguintes tr�s
ra�zes durante o restante da resolu��o:
PRIMEIRA RAIZ ELIMINADA: x = [-1 - sqr(21)]/2
SEGUNDA RAIZ ELIMINADA: x = [1 - sqr(17)]/2
TERCEIRA RAIZ ELIMINADA: x = [1 + sqr(17)]/2

	A quest�o agora � explicar o motivo de termos encontrado estas tr�s
ra�zes inv�lidas.

	Observe que ao elevar ambos os membros das igualdades (i) e (ii) e
obter as igualdades (vi) e (vii), n�s acrescentamos novas possibilidades,
pois no campo dos reais a raiz quadrada aritm�tica somente est� definida
para n�meros reais n�o negativos, sendo que o resultado desta raiz tamb�m
deve ser um n�mero real n�o negativo. Quando elevamos ambos os membros da
igualdade ao quadrado, n�s podemos estar acrescentando solu��es, uma vez que
o quadrado de um n�mero real positivo � igual ao quadrado do seu sim�trico
(oposto aditivo).

	Abaixo, eu apresento explica��es detalhadas dos motivos pelos quais
as tr�s ra�zes inv�lidas foram encontradas. Durantes as explica��es, eu
utilizarei a f�rmula de transforma��o de radicais duplos em radicais
simples, que eu demonstrei h� algum tempo atr�s.
O radical duplo sqr(A +/- sqr(B)), com A e B racionais pode ser transformado
em radical simples desde que C = sqr(A^2 - B) seja racional, sendo que a
transforma��o � dada pela f�rmula: sqr[(A + C)/2] +/- sqr[(A - C)/2].


MOTIVO DE TERMOS ENCONTRADO A PRIMEIRA RAIZ ELIMINADA: [-1 - sqr(21)]/2

x = [-1 - sqr(21)]/2
Esta solu��o foi obtida de (viii) y = x, logo: y = [-1 - sqr(21)]/2

Substituindo os valores de x e y em (i) e (ii), devemos ter:
(i) y = sqr(5 - x) => [-1 - sqr(21)]/2 = sqr{5 - [-1 - sqr(21)]/2} => [-1 -
sqr(21)]/2 = sqr{[11 + sqr(21)]/2}
(ii) x = sqr(5 - y). Analogamente, devemos ter que: [-1 - sqr(21)]/2 =
sqr{[11 + sqr(21)]/2}

Observe que as duas igualdades id�nticas n�o s�o v�lidas, pois o primeiro
membro � negativo e o segundo membro � positivo. Por�m, se os n�meros forem
sim�tricos (opostos aditivos), ent�o ao elevarmos ambos os membros ao
quadrado a igualdade se tornar� verdadeira. Transformando o radical duplo
sqr{[11 + sqr(21)]/2} = sqr[11/2 + sqr(21/4)] em radicais simples, podemos
comprovar a simetria dos n�meros, conforme segue:
A = 11/2 e B = 21/4, logo: C = sqr(A^2 - B) = sqr[(11/2)^2 - 21/4] =
sqr(121/4 - 21/4) = sqr(100/4) = sqr(25) = 5.
Logo: sqr{[11 + sqr(21)]/2} = sqr[(A + C)/2] + sqr[(A - C)/2] = sqr[(11/2 +
5)/2] + sqr[(11/2 - 5)/2] = sqr(21/4) + sqr(1/4) = [1 + sqr(21)]/2.

Portanto: [-1 - sqr(21)]/2 = -[1 + sqr(21)]/2 != sqr{[11 + sqr(21)]/2} = [1
+ sqr(21)]/2, mas {[-1 - sqr(21)]/2}^2 = sqr{[11 + sqr(21)]/2}^2.


MOTIVO DE TERMOS ENCONTRADO A SEGUNDA RAIZ ELIMINADA: [1 - sqr(17)]/2

x = [1 - sqr(17)]/2
Esta solu��o foi obtida de (ix) y = 1 - x, logo: y = [1 + sqr(17)]/2

Substituindo os valores de x e y em (i) e (ii), teremos:
(i) y = sqr(5 - x) => [1 + sqr(17)]/2 = sqr{5 - [1 - sqr(17)]/2} => [1 +
sqr(17)]/2 = sqr{[9 + sqr(17)]/2}
(ii) x = sqr(5 - y) => [1 - sqr(17)]/2 = sqr{5 - [1 + sqr(17)]/2} => [1 -
sqr(17)]/2 = sqr{[9 - sqr(17)]/2}

Observe que a primeira igualdade deve ser v�lida, pois ambos os membros s�o
positivos, mas a segunda n�o � v�lida, pois o primeiro membro � negativo e o
segundo membro � positivo. Por�m, se os n�meros forem sim�tricos (opostos
aditivos) na segunda igualdade, ent�o ao elevarmos ambos os membros ao
quadrado a igualdade se tornar� verdadeira. Transformando o radical duplo
sqr{[9 +/- sqr(17)]/2} = sqr[9/2 +/- sqr(17/4)] em radicais simples,
teremos:
A = 9/2 e B = 17/4, logo: C = sqr(A^2 - B) = sqr[(9/2)^2 - 17/4] = sqr(81/4
- 17/4) = sqr(64/4) = sqr(16) = 4.
Logo: sqr{[9 +/- sqr(17)]/2} = sqr[(A + C)/2] +/- sqr[(A - C)/2] = sqr[(9/2
+ 4)/2] + sqr[(9/2 - 4)/2] = sqr(17/4) +/- sqr(1/4) = [sqr(17) +/- 1]/2.

Portanto, na igualdade (i) os membros s�o iguais e na igualdade (ii) os
membros s�o sim�tricos (opostos aditivos):
(i) [1 + sqr(17)]/2 = sqr{[9 + sqr(17)]/2} = [sqr(17) + 1]/2
(ii) [1 - sqr(17)]/2 = -[sqr(17) - 1]/2 != sqr{[9 - sqr(17)]/2} = [sqr(17) -
1]/2, mas {[1 - sqr(17)]/2}^2 = sqr{[9 - sqr(17)]/2}^2.


MOTIVO DE TERMOS ENCONTRADO A TERCEIRA RAIZ ELIMINADA: [1 + sqr(17)]/2

x = [1 + sqr(17)]/2
Esta solu��o foi obtida de (ix) y = 1 - x, logo: y = [1 - sqr(17)]/2

Substituindo os valores de x e y em (i) e (ii), teremos:
(i) y = sqr(5 - x) => [1 - sqr(17)]/2 = sqr{5 - [1 + sqr(17)]/2} => [1 -
sqr(17)]/2 = sqr{[9 - sqr(17)]/2}
(ii) x = sqr(5 - y) => [1 + sqr(17)]/2 = sqr{5 - [1 - sqr(17)]/2} => [1 +
sqr(17)]/2 = sqr{[9 + sqr(17)]/2}

A an�lise do motivo de termos encontrado a terceira raiz eliminada �
id�ntica � an�lise do motivo de termos encontrado a segunda raiz eliminada,
uma vez que as igualdades (i) e (ii) da segunda raiz eliminada s�o id�nticas
�s igualdades (ii) e (i), respectivamente, da terceira raiz eliminada.


Atenciosamente,

Rog�rio Moraes de Carvalho
-----Original Message-----
From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of Claudio Buffara
Sent: sexta-feira, 4 de junho de 2004 13:13
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] o valor de x - continuacao

on 04.06.04 06:32, Rog�rio Moraes de Carvalho at rogeriom@gmx.net wrote:

> Ol� Claudio,
> 
> Originalmente, eu resolvi esta quest�o usando a mesma id�ia
> apresentada como quarta solu��o pelo Fabio, por�m eu analisei as condi��es
> que devem ser satisfeitas em cada passo para possibilitar as
transforma��es
> no campo dos reais. Deste modo, eu consigo analisar a validade das
solu��es
> encontradas. � importante ressaltar que na resolu��o de uma equa��o
> irracional no campo dos reais, a an�lise da condi��o de exist�ncia � t�o
> importante quanto o fato de encontrar uma equa��o polinomial
"equivalente".
> Pois, esta equival�ncia quase sempre � parcial, ou seja, geralmente apenas
> algumas ra�zes s�o compartilhadas.
> 
Tudo bem. Concordo. Alias, uma das principais licoes desse problema eh
justamente essa: depois de resolver uma equacao onde coisas foram elevadas
ao quadrado, eh fundamental checar para ver se as solucoes encontradas sao,
de fato, solucoes da equacao original.

Mas voce nao respondeu a minha pergunta: de onde vieram as tres raizes
adicionais, especialmente a outra raiz positiva.

[]s,
Claudio.


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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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