RE: [obm-l] Problemas em Aberto

[João Gilberto Ponciano Pereira <jopereira@xxxxxxxxxxxxx>]

Acho que dá para pensar assim:

AB = lado a
BC = lado b
CD = lado c
DA = lado d

A área do quadrilátero pode ser calculada como a área do triângulo ABC +
área do triângulo ACD.

Vamos supor que conhecemos a configuração final, de área máxima, apenas para
os pontos ABC. Ou seja, dada qualquer configuração do triângulo ABC, como o
comprimento CD é fixo, fica fácil ver que a posição do ponto D para a área
máxima vai ocorrer apenas quando o triângulo ACD for retângulo em C. Daí
fica fácil, basta repetir o mesmo raciocínio utilizando como referência a
outra diagonal.

-----Original Message-----
From: Eric [mailto:mathfire@ig.com.br]
Sent: Wednesday, June 02, 2004 1:21 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Problemas em Aberto


2. Tres lados consecutivos de um quadrilatero convexo sao a, b e c.
    Determine o quadrilatero de area maxima .

Fiz um programa em Maple que dados os lados a,b,c
(em ordem) do quadrilatero, encontra os angulos x e y
entre os lados a,b  e b,c respectivamente que tornam
a area do quadrilatero maxima. Alem disso o programa
encontra essa area maxima e faz dois tipos diferentes
de testes para verificar o resultado. Um deles
comparando a area maxima encontrada com 1000 areas
calculadas aleatoriamente para diferentes valores de
x e y entre Pi/2 e Pi. Alem desse teste tambem uso o teste da derivada
segunda para funcoes de duas variaveis, mas
por algum motivo que nao compreendo totalmente este teste
nao funciona sempre (por exemplo, nao funciona para (a,b,c)=(1,1,1), onde
x=y=2Pi/3, nem para (a,b,c)=(1,1,6)) (pode ser algum erro
de programacao minha).

Segue abaixo alguns resultados encontrados pelo programina
(se alguem achar um erro me comunique para que eu faca as
correcoes no programa).

Fora o primeiro, os outros valores estao
aproximados (os angulos x, y estao em radianos).

(a,b,c)        (x,y)            Area maxima encontrada
(1,1,1)  (2Pi/3,2Pi/3)             3*(3^(1/2))/4
(1,2,1)  (1.94553; 1.94553)    2.20183
(1,2,3)  (2.38820; 1.81638)    4.90482
(2,3,1)  (1.81638; 2.07859)    4.90482
(1,1,6)  (2.82363; 1.72977)    6.08065

para (a,b,c) = (1,1,1) ou (1,1,6) o teste fornece
valores que nao passam no teste da derivada segunda
(usa uma matriz hessiana 2x2 (acho que o nome eh
esse)). Minha duvida eh justamente essa: sera que
as primeira e ultima areas encontradas sao mesmo
maximas? Elas passam no teste de comparacao com
1000 areas calculadas aleatoriamente, mas nao passam
no teste da derivada segunda...

OBS: teste da derivada segunda para funcoes de
duas variaveis:

(f_xx)(f_yy) - (f_xy)^2 > 0 e f_xx < 0 ==> maximo local de f

[ ]'s

Eric.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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