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RE: [obm-l] Geom. Plana

To: <obm-l@xxxxxxxxxxxxxx>
Subject: RE: [obm-l] Geom. Plana
From: Rog�rio Moraes de Carvalho <rogeriom@xxxxxxx>
Date: Sat, 29 May 2004 22:58:53 -0300
In-Reply-To: <HYI4YI$C69E7FFEF771A7E0CA9B3C1AA3D3B002@bol.com.br>
Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
thread-index: AcRF4VY8wKNmE+E7TwKUo+qkqN1bnwABraIA
Osvaldo,

	Para chegar a esta conclus�o, voc� vai ter que levar em conta o
seguinte dado do enunciado do problema: "... os pontos de interse��o
de seus lados sejam os v�rtices de um oct�gono regular.". Sendo assim, voc�
pode levar em considera��o que todos os �ngulos internos do oct�gono regular
s�o iguais a 135�. Usando esta informa��o, voc� pode comprovar as suas
conclus�es de v�rias maneiras. Observe que voc� n�o tinha usado esta
informa��o, portanto voc� estava resolvendo um problema mais gen�rico como
se fosse um caso particular.

Obs.: Se estiver com tempo, d� uma analisada na resolu��o que eu propus. A
resolu��o parece extensa, mas isto ocorreu devido a eu ter explicado
detalhadamente todos os passos e c�lculos. Ao analisar os passos da
resolu��o, voc� poder� concluir que a resolu��o � bem simples.

Abra�os,

Rog�rio Moraes de Carvalho
-----Original Message-----
From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of Osvaldo
Sent: s�bado, 29 de maio de 2004 21:50
To: obm-l
Subject: RE: [obm-l] Geom. Plana

E ai Rog�rio!

Poxa, acho que vc esta certo. Ser� que tem alguma 
maneira direta de se fazer isto? se tiver favor me 
mandar. valew!





> Ol� Osvaldo,
> 
> 	Observe que voc� est� tirando conclus�es 
baseadas somente no
> desenho. O enunciado n�o fornece nenhuma informa��o 
que permita que voc�
> conclua de maneira DIRETA que os segmentos XJ e OC 
s�o paralelos. Ao afirmar
> que os segmentos XJ e OC s�o paralelos, voc� est� 
afirmando de maneira
> indireta que o quadrado EFGH pode ser obtido a partir 
do quadrado ABCD por
> uma rota��o de 45� em torno do seu centro.
> 
> Abra�os,
> 
> Rog�rio Moraes de Carvalho
> -----Original Message-----
> From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-
l@mat.puc-rio.br] On
> Behalf Of Osvaldo
> Sent: s�bado, 29 de maio de 2004 16:55
> To: obm-l
> Subject: RE: [obm-l] Geom. Plana
> 
> Okay, concordo!
> Por�m, n�o mencionei na minha solu��o por ME PARECER 
> meio direto, desculpe.
> Tipo, olhando para os �ngulos XJB e OCB, conclu�mos 
que 
> eles t�m mesmo valor (ang. correspondentes ja que BC 
� 
> comum e os segmentos XJ e OC s�o //), ou seja 45� , 
dai 
> completo o angulo BIX, ou seja BIX+90+45=180 ou seja, 
> BIX vale 45 tambem. 
> 
> Falow, at�. 
> 
> > Ol� Osvaldo,
> > 
> > 	N�o h� dados suficientes no enunciado do 
> problema que permitam que
> > voc� conclua de forma DIRETA que os tri�ngulos ABC 
e 
> IBJ s�o semelhantes. �
> > f�cil e direto concluir que os �ngulos do tri�ngulo 
> ABC s�o os seguintes:
> > <ABC = 90�, <BCA = 45� e <CAB = 45�, uma vez que se 
> trata de um tri�ngulo
> > ret�ngulo is�sceles (AB = BC = L e <ABC = 90�). 
> Por�m, apesar de podermos
> > concluir diretamente que no tri�ngulo IBJ o �ngulo 
> <IBJ = 90�, n�o se pode
> > concluir diretamente que <BJI = 45� ou <JIB = 45�. 
> Sendo assim, n�o �
> > correto fazer a semelhan�a entre os tri�ngulos ABC 
e 
> IBJ pelo crit�rio AA~,
> > a n�o ser que se prove antes que um dos �ngulos 
> agudos do tri�ngulo IBJ �
> > igual a 45�. Uma poss�vel demonstra��o est� 
colocada 
> na solu��o que eu
> > propus.
> > 
> > Atenciosamente,
> > 
> > Rog�rio Moraes de Carvalho
> > -----Original Message-----
> > From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-
> l@mat.puc-rio.br] On
> > Behalf Of Osvaldo
> > Sent: s�bado, 29 de maio de 2004 13:58
> > To: obm-l
> > Subject: RE: [obm-l] Geom. Plana
> > 
> > E ai Th�r!
> > 
> > 
> > Creio que uma outra res. poss�vel seja algo como 
esta:
> > 
> > Dois quadrados com mesmo per�metro s�o certamente 
> > congruentes.
> > Seja l o lado do quadrado, ambos os quadrados t�m 
> > per�metro P, assim P=l/4
> > 
> > Fa�a o desenho. Sejam A,B,C,D os v�rtices do 
primeiro 
> > quadrado e sejam E,F,G,H os v�rtices do outro 
> quadrado 
> > de tal forma que B est� mais proxima de EF. Sejam I 
e 
> J 
> > as intersec��es de EF com os lados AB e BC, 
> > respectivamente; O o centro dos quadrados e X a 
> > intersec��o de OB com o lado EF.
> > 
> > Trace a diagonal AC. Os triang. ABC e IBJ s�o 
> > semelhantes caso ~AA. Da propor��o AC/OB=IJ/XB 
> > temos que IJ=2.XB=2.y, onde IJ � o lado do oct�gono 
> > regular. 
> > 
> > Observe que a diagonal do quadrado corresponde ao 
> lado 
> > do quadrado somada com duas vezes y=XB, ou seja, 
> l.sqrt
> > (2)=l+2.y=> y=l.(sqrt(2-1))/2
> > Observe que o triang. ret. XBJ � isosceles, logo o 
> lado 
> > do oct�gono corresponde a duas vezes y ou seja l.
(sqrt
> > (2)-1)=
> > (P/4).(sqrt(2)-1)
> > 
> > Falow ai
> > 
> > 
> > 
> > 
> > > Ol� Thor,
> > > 
> > > 	Segue uma resolu��o poss�vel para esta quest�o.
> > > 
> > > 
> > > RESOLU��O POSS�VEL:
> > > 
> > > Se os dois quadrados conc�ntricos t�m os mesmos 
> > per�metros (P), ent�o eles
> > > s�o congruentes, pois ter�o os mesmos lados (L = 
> > P/4). Como o esbo�o da
> > > figura � muito importante para facilitar a 
> > compreens�o da resolu��o, segue a
> > > descri��o do mesmo.
> > > 
> > > Seja ABCD um quadrado de per�metro P, lado L (L = 
> > P/4) e centro O. Agora
> > > obtenha o outro quadrado A'B'C'D' a partir da 
> rota��o 
> > de um �ngulo BETA de
> > > ABCD em torno da sua origem O no sentido hor�rio, 
> tal 
> > que 0 < BETA < 90�.
> > > Nomeie os pontos de interse��o dos dois quadrados 
> > como H[1], H[2], H[3],
> > > ..., H[8] no sentido hor�rio partindo do ponto de 
> > interse��o mais pr�ximo de
> > > A no segmento AB.
> > > 
> > > Segue a demonstra��o de que o �ngulo BETA (<AOA') 
> de 
> > rota��o do quadrado
> > > ABCD deve ser igual a 45�.
> > > Para isto, considere P o ponto de interse��o do 
> > segmento AO com o lado D'A'
> > > do quadrado A'B'C'D' e Q o ponto de interse��o do 
> > segmento A'O com o lado AB
> > > do quadrado ABCD. No quadril�tero PH[1]QO o 
�ngulo 
> <PH
> > [1]Q corresponde a um
> > > dos �ngulos internos de um oct�gono regular (dado 
> do 
> > enunciado), ent�o:
> > > <PH[1]Q = (8 - 2).180�/8 = 135�
> > > <PH[1]A + <PH[1]Q = 180� => <PH[1]A + 135� = 180� 
> => 
> > <PH[1]A = 45�
> > > <PAH[1] = 45� (�ngulo agudo formado entre uma 
> > diagonal e um lado do quadrado
> > > ABCD)
> > > Pelo Teorema do �ngulo Interno: <OPH[1] = <PAH[1] 
+ 
> > <PH[1]A => <OPH[1] = 90�
> > > Analogamente, conclu�mos que <H[1]QO = 90�
> > > A soma dos �ngulos internos do quadril�tero OPH[1]
Q 
> � 
> > igual a 360�,
> > > portanto: <OPH[1] + <PH[1]Q + <H[1]QO + <QOP = 
360� 
> > => 90� + 135� + 90� +
> > > BETA = 360� => BETA = 45�
> > > 
> > > Observe que: AO = AP + PO (i)
> > > 
> > > AO: metade da diagonal do quadrado ABCD, portanto 
> AO 
> > = L.sqr(2)/2 (ii)
> > > 
> > > AP: metade do lado do oct�gono regular (X/2), 
pois 
> na 
> > dedu��o do �ngulo de
> > > rota��o (BETA) n�s conclu�mos que o tri�ngulo APH
> [1] 
> > � ret�ngulo is�sceles.
> > > Analogamente, podemos concluir que APH[8] � 
> ret�ngulo 
> > is�sceles. Como o lado
> > > AP � comum, podemos dizer que os tri�ngulo APH[1] 
e 
> > APH[8] s�o congruentes
> > > pelo crit�rio ALA. Considerando X como a medida 
do 
> > lado do oct�gono regular
> > > H[1]H[2]H[3]H[4]H[5]H[6]H[7]H[8], teremos AP = PH
> [1] 
> > = PH[8] = X/2 (iii)
> > > 
> > > PO: metade do lado do quadrado A'B'C'D', portanto 
> PO 
> > = L/2 (iv)
> > > 
> > > Substituindo as igualdades (ii), (iii) e (iv) na 
> > igualdade (i), teremos:
> > > L.sqr(2)/2 = X/2 + L/2 => X = [sqr(2) - 1].L
> > > Como L = P/4: X = {[sqr(2) - 1].P}/4
> > > 
> > > Resposta: {[sqr(2) - 1].P}/4
> > > 
> > > Atenciosamente,
> > > 
> > > Rog�rio Moraes de Carvalho
> > > ______________________________________
> > > From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-
obm-
> > l@mat.puc-rio.br] On
> > > Behalf Of Thor
> > > Sent: sexta-feira, 28 de maio de 2004 19:25
> > > To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > > Subject: [obm-l] Geom. Plana
> > > 
> > > �
> > > �
> > > Dois quadrados conc�ntricos de per�metro P , 
cada , 
> > s�o interceptados de
> > > modo que os pontos de interse��o
> > > de seus lados sejam os v�rtices de um oct�gono 
> > regular.Qual � o lado desse
> > > oct�gono em fun�ao de P?
> > > �
> > > �
> > > Tentei fazer , e cheguei na lei dos co-senos , e 
> dai 
> > parei!!!!
> > > �
> > > ��� Agrade�o desde de j�.
> > > 
> > > 
> > > 
> > > 
> > 
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> > > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e 
> usar 
> > a lista em
> > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-
l.html
> > > 
> > 
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> > 
> > Atenciosamente,
> > 
> > Engenharia El�trica - UNESP Ilha Solteira
> > Osvaldo Mello Sponquiado 
> > Usu�rio de GNU/Linux
> > 
> > 
> >  
> > 
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> __________________
> > Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
> > AntiPop-up UOL - � gr�tis!
> > http://antipopup.uol.com.br/
> > 
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usar 
> a lista em
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Osvaldo Mello Sponquiado 
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References:
- RE: [obm-l] Geom. Plana
  - From: Osvaldo
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