Re: [obm-l] Geometria Plana

["boromir" <boromir@xxxxxxxxxxxx>]

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>De:JoaoCarlos_Junior@net.ms.gov.br
>Para:obm-l@mat.puc-rio.br
>Assunto:[obm-l] Geometria Plana
>
>Caros participantes,
>
>	 Tr�s exerc�cios de Geometria Plana
>seguem abaixo.
>
>	 Minha d�vida � somente com rela��o �
>letra (b) do primeiro, a qual:
>  Essa  figura  (lugar geom�trico) � tal chamada
>cardi�ide? Sua equa��o � Y
>  =  (sent  +	cost),	com  ?90<t<  +90,  cujo 
>v�rtice de tal �ngulo t � o
>  sim�trico  de  B em rela��o a O, centro do
>c�rculo? O pr�prio ponto B n�o
>  pertence a esse LG, correto?
>
>	 Os   demais   exerc�cios  foram 
>lan�ados,  pois  que,	pode  haver
>  interessados nos mesmos.
>
>  1) Dado um c�rculo de centro O, seja BC uma
>corda fixa desse c�rculo, tal
>  que	BC  =  90  graus.  Para cada A
>pertencente ao c�rculo, constr�i-se o
>  quadrado ABMN, exterior ao tri�ngulo ABC.
>  a)  Mostre que a reta AN passa por um ponto
>fixo.
AN � perpendicular a AB e portanto a reta AN intersecta o c�rculo no ponto B� diametralmente oposto a B. Como B � fixo B' tamb�m � fixo.


>  b)  Determine o lugar geom�trico de N.
Tome o ponto C' diametralmente oposto a C. Os tri�ngulos C'AB e C'AN s�o congruentes (caso LAL no �ngulo A) e, portanto C'B = C'N. Como C'B � fixo igual ao raio do c�rculo original vezes metade de sqrt(2), o LG de N � um c�rculo de centro C' e raio igual ao raio doc�rculo dado vezes sqrt(2).



>
>  2)  AB  � uma corda m�vel de um c�rculo dado
>C, e D � um ponto fixo sobre
>  AB  (DA diferente de DB). Dois c�rculos
>vari�veis tangentes interiormente
>  ao  c�rculo C e contendo respectivamente as
>cordas AD e DB se interceptam
>  em Q. Determinar o lugar geom�trico do ponto
>Q.
>
Eu n�o entendi muito bem o enunciado...
1) A corda m�vel tem comprimento fixo?
2) D est� sobre a corda AB ou sobre o arco AB?

>  3)  Dois  c�rculos  de  centro  O e O�e de
>raios R e R�se interceptam nos
>  pontos  A  e  B.  Uma  reta	r contendo A
>intercepta o c�rculo O em C e o
>  c�rculo O�em D.
>  a)  Provar que a soma dos arcos CA + AD
>permanece constante quando a reta
>  r varia;
O �ngulo OAO' nunca se altera. OAO'+ OAC + O'AD = 180 graus. OAC � metade do suplemento do arco AC e O'AD � metade do suplemento do arco AD,portanto:
OAO' + 90 - 0,5*arco(AC) + 90 - 0,5*Arco AD = 180
0,5*[arco(AC) + arco(AD)] = OAO'
Arco (AC) + Arco(AD)= 2*OAO' que � constante.

>  b)  Considerar uma segunda posi��o da reta r
>que determine no c�rculo de
>  centro O um ponto E, e no c�rculo de centro
>O�um ponto F, tais que P seja
>  a interse��o de EC e DF. Prove que os �ngulos
>CPD e CBD s�o
>  suplementares.


S�o suplementares e alem disso s�o constantes.
NOte que o �ngulo PEF mede metade do arco AC; O �ngulo AFD � metade do replemento do arco AD.

Usandoo teorema do �ngulo esxterno, 
PEF+CPD = AFD
0,5*Arco(AC) + CPD = 180 - 0,5*Arco(AD)
0,5*[Arco(AC) + arco(AD)]= 180 - CPD
� extremamente simples verificar que CBD � igual a
0,5*[Arco(AC) + arco(AD)] e portanto CPD e CBD s�o suplementares.

[]'s MP



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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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