[obm-l] Cadeias de Markov: fluxo e equilibrio

[niski <fabio@xxxxxxxxx>]

Pessoal, tentei resolver esse problema, mas nao estou certo se o que eu 
fiz é a demonstracao correta ou apenas uma heuristica (ou quem sabe uma 
bela porcaria) portanto, gostaria que por favor analisassem e/ou 
mandassem suas solucoes. Obrigado

Notacao : A^C complementar do conjunto A
           P[ij] probabilidade de transicao do estado i para o j

"Seja P a matriz de transição de uma cadeia de Markov. Seja pi sua 
medida invariante (isto é, pi*P = pi). Prove que
Somatorio[i pert A]Somatorio[j pert A^C]pi[i]P[ij] = Somatorio[i pert 
A^C]Somatorio[j pert A]pi[i]P[ij]. Isto é, em equilibrio, o fluxo medio 
de um conjunto A de estados para o seu complementar é igual ao fluxo no 
sentido contrario"

Demonstracao:

1) Desenvolvendo as somatorias, para cada termo pi[k]P[kn] do lado 
esquerdo havera um termo pi[n]P[nk] do lado direito.
2) Da propriedade de "time reversible" das cadeias de Markov, vem que 
pi*P[ij] = pi*[j]P[ji] para todo i,j

De 1 e de 2 resulta
Somatorio[i pert A]Somatorio[j pert A^C]pi[i]P[ij] = Somatorio[i pert 
A^C]Somatorio[j pert A]pi[i]P[ij]

Obrigado pessoal.

-- 
Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski

[upon losing the use of his right eye]
"Now I will have less distraction"
Leonhard Euler

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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