Re: [obm-l] derivadas parciais

["Eduardo Cabral" <eduardo_cabral9@xxxxxxxxxxx>]

Cla�dio

Na sua resolu��o vc fez uso do teorema do valor m�dio, portanto vc supos que 
a restri�ao da fun��o ao intervalo fechado cujos extremos s�o x e y � 
cont�nua. No entanto, a exist�ncia de todas as derivadas parciais num ponto 
n�o implica a continuidade da fun��o nesse ponto (por exemplo f(x,y)=xy/(x^2 
+ y^2) se (x^2 + y^2) <ou> que 0 e f(0,0)=0.). A conclus�o a que o exerc�cio 
quer te levar � justamente essa: Se f possui derivadas parciais limitadas 
num aberto qualquer ela � cont�nua(n�o necess�riamente uniformemente).

PS: esse � um exerc�cio do elon igual ao que o Fabio Dourado mandou, que por 
sinal tamb�m n�o sei fazer.

De qualquer forma agrade�o pela ajuda.

Eduardo



>
> >
> > Provar: Se f:U --> R possui derivadas parciais, com modulo( df(x)/dxi)<= 
>M
> > (para i=1,...,m) em todos os pontos do aberto convexo U c R^m entao
> > modulo(f(x)-f(y))<=M*norma da soma(x-y) para quaisquer x,y pertencentes 
>a U.
> >
> > Agrade�o a todos pelas t�o prestativas ajudas num e-mail que mandei 
>outro
> > dia.
> >
> > Muito obrigado
> >
>Sejam x = (x_1,x_2,...,x_m) e y = (y_1,y_2,...,y_m) pertencentes a U.
>
>Entao, o teorema do valor medio diz que existe c = (c_1,c_2,...,c_m)
>pertencente ao segmento de reta que une x e y tal que:
>f(y) - f(x) = <grad(f)(c),y - x> = SOMA(1<=i<=m) f_i(c)*(y_i - x_i).
>onde:
>grad(f)(c) = gradiente de f avaliado no ponto c;
>f_i(c) = derivada parcial df/dx_i avaliada no ponto c.
>
>Como U eh convexo, c pertence a U.
>Logo, |f_i(c)| <= M.
>
>Assim, teremos:
>|f(y) - f(x)| =
>|SOMA(1<=i<=m) f_i(c)*(y_i - x_i)| <=
>SOMA(1<=i<=m) |f_i(c)|*|y_i - x_i| <=
>SOMA(1<=i<=m) M*|y_i - x_i| =
>M*SOMA(1<=i<=m) |y_i - x_i| =
>M*norma da soma de (x - y)
>
>
>[]s,
>Claudio.
>
>
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>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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