Re: [obm-l] medias

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, May 03, 2004 at 07:32:24AM -0300, Claudio Buffara wrote:
> on 03.05.04 02:09, DafnhÅ? Thot at dafnhethor@bol.com.br wrote:
> 
> > Olá, eu estou com um problema, eu naum consigo provar
> > que a media aritimética de três numeros eh maior que a
> > media geométrica, caso alguém possa me ajudar.... pelo
> > menos alguém deve saber algum site que tenha esta
> > demonstração... obrigado!!!!
> >
> Mas isso nao eh verdade. Por exemplo:
> (1+1+1)/3 = (1*1*1)^(1/3) = 1
> ou
> ((-1) + (-8) + (-27))/3 = -12 < -6 = ((-1)*(-8)*(-27))^(1/3)
>   
> O resultado preciso eh: a media aritmetica de 3 numeros reais nao-negativos
> eh maior ou igual a media geometrica e a igualdade vale se e somente se os
> tres numeros sao iguais.
> 
> Sugestao: fatore x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz.

Vou completar a dica do Claudio pq não sei se é tão fácil assim:

x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz)

Por outro lado
x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz = ((x-y)^2 + (x-z)^2 + (y-z)^2)/2.

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Outra possibilidade é escrever a desigualdade assim:

log((x+y+z)/3) >= (log(x) + log(y) + log(z))/3

Isto segue do fato do gráfico da função log ter sempre
a concavidade para baixo.

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Ainda outra possibilidade é a seguinte.
Você parece conhecer o resultado para dois números:

(x+y)/2 >= sqrt(xy)

Daí é fácil tirar o resultado análogo para quatro números:

(x1+x2+x3+x4)/4 = (((x1+x2)/2) + ((x3+x4)/2))/2 >=
                >= (sqrt(x1x2) + sqrt(x3x4))/2 >=
                >= sqrt(sqrt(x1x2) sqrt(x3x4)) = (x1x2x3x4)^(1/4)

e analogamente para 8, 16, 32, 64, ..., 2^n números.

Ora, tanto a média aritmética quanto a média geométrica de três números
y1, y2, y3 são muito bem aproximadas por uma média de 2^n números:
tome m cópias de y1, m cópias de y2 e m+-1 cópias de y3 onde 2^n = 3m+-1.
Se para alguma tripla de números a média geométrica fosse maior do que
a aritmética, estes erros poderiam ser tomados como sendo bem menores
do que a diferença entre as médias, gerando uma contradição.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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