[obm-l] Re: [obm-l] A menor bissetriz e o maior lado de um tri�ngulo

Acho que da para ir de trigonometria nao?Depois eu dou uma olhada...

rafsanco <rafsanco@bol.com.br> wrote:

Ol� para todos !

Deparei-me com um teorema de geometria euclidiana plana
que dizia o seguinte: ao maior lado de um tri�ngulo
corresponde a menor bissetriz. Tentei prov�-lo da
seguinte forma (infelizmente n�o disponho de recursos
visuais, ent�o usem a imagina��o ou esbo�em o desenho
num papel para compreenderem melhor o que digo): Seja
ABC um tri�ngulo qualquer, BC seu maior lado, I seu
incentro, x a medida do angulo interno de v�rtice A, y
a medida do �ngulo interno de v�rtice B, z a medida do
�ngulo interno de v�rtice C, AM a bissetriz de x, BO a
bissetriz de y e CN a bissetriz de z. Sabe-se que x > y
e x > z uma vez que x � oposto a BC (suposto maior
lado). Analisando o tri�ngulo AIC, v�-se que x/2 > z/2,
logo CI > AI. Observando o tri�ngulo AIB � verdadeiro
afirmar que x/2 > y/2, portanto BI >! AI. Ora IM, IN e
IO s�o segmentos de reta congruentes, visto que s�o
raios da circunfer�ncia inscrita a ABC, ent�o BI + IO >
AI + IM o que implica que BO > AM (BI + IO = BO e AI +
IM = AM), assim como CI + IN > AI + IM o que implica
que CN > AM (CI + IN = CN e AI + IM = AM). Enfim, est�
demonstrada a tese AM < BO e AM < CN. A minha
demonstra��o � v�lida ou h� algo nela que a compromete
(sei l�, algum argumento duvidoso, por exemplo) ? Voc�s
conhecem alguma outra maneira de se provar esse
teorema ? Se sim, exponha-a por favor.

Abra�os,

Rafael.

__________________________________________________________________________
Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
AntiPop-up UOL - � gr�tis!
http://antipopup.uol.com.br/

=========================================================================
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================