[obm-l] Re:Combinat�ria

["rickufrj" <rickufrj@xxxxxxxxxx>]

1)Dentre todos os n�meros de 7 d�gitos , quantos 
possuem exatamente 3 d�gitos  9 e os 4 d�gitos 
restantes todos diferentes ?

Suas op��es de d�gitos est�o no conjunto I = 
{0,1,...,8}
Escolhendo os 3 lugares para os 9�s , temos  C (7,3) .
Agora complentando o restante dos d�gitos do n�mero 
com as op��es de I ,e sendo o n�mero de op��es P, 
temos :
P = 9*8*7*6
Mas espere , devemos retirar os n�meros que come�am 
com ZERO .Com isso I� = { 1,2,...,8} :
Fixando o ZERO no 1� d�gito , temos :
Escolhendo onde os 9�s ,temos  C(6,3) .
Complentando o restante dos d�gitos do n�mero com  
op��es de I� ,e sendo o n�mero de op��es P�, temos :
P� = 8*7*6 
Portanto a resposta R , ser�:
R = [C (7,3) *P]  -  [C(6,3) *P�]

2)No sistema decimal ,quantos n�meros de 6 d�gitos 
distintos possuem 3 d�gitos pares e 3 d�gitos �mpares ?

Cp = { 0,2,4,6,8}  e Ci = { 1,3,5,7,9}
Escolhendo os �mpares dentro de Ci e sendo o n�mero de 
op��es O , temos :
O = 5*4*3
Escolhendo os lugares onde estes 3 �mpares ficaram , 
temos :
C(6,3)
Agrupando os pares nos locais restantes e sendo P o 
n�mero de op��es para se fazer isto , temos :
P = 5*4*3
Mas espere , como no exerc�cio 1 , deveremos tirar os 
casos em que o ZERO esta no primeiro d�gito :
Fixando o ZERO no 1� d�gito :
Escolhendo os �mpares dentro de Ci e sendo o n�mero de 
op��es O� , temos:
O� = 5*4*3
Escolhendo os lugares onde estes 3 �mpares ficaram , 
temos :
C(5,3)
E finalmente agrupando os pares de Cp� = {2,4,6,8} nos 
locais restantes e sendo P� o n�mero de op��es para se 
fazer isto , temos :
P� = 4*3
Portanto a resposta R , ser�:
R = [O* C(6,3)*5*4*3] � [O�*C(5,3)* P�]

3)Dentre as permuta��es dos 10 d�gitos (0,1,...,9) 
quantas s�o aquelas em que o primeiro d�gito � maior 
do que 1 e o �ltimo d�gito � menor do que 7 ?

Dividindo em casos , temos :
1�Caso  1 < (1�dig.) < 7  e   1 >= (10� dig.) >= 0
2�Caso  7 <= (1� dig.) <= 9  e  7 > (10� dig.) > 1
Fa�a os casos separadamente , e some os resultados !

5)De quantas maneiras podemos permutar as letras da 
palavra POSTER de tal forma que haja 2 consoantes 
entre as 2 vogais ?
Cons = {p,s,t,r}
Vogais = {o,e}
Escolha dos lugares das vogais : C(3,1)
Permuta��o das vogais : 2!
Escolha das consoantes : C(4,2) 
Permuta��o das consoantes : 2!
Permuta��o das consoantes que sobraram : 2!
Portanto a resposta R , ser�:
R = C(3,1) *2! *C(4,2)* 2!*2!

O n�mero 4 eu fiz de uma forma que eu abri em v�rios 
casos , como achei que ficou muito grande , alguem 
deve mandar uma solu��o mais simples .
Espero ter ajudado .. : )

Abra�os 
Luiz H. Barbosa 


















 
__________________________________________________________________________
Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
AntiPop-up UOL - � gr�tis!
http://antipopup.uol.com.br/



=========================================================================
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================