Re: [obm-l] algumas duvidas de PA

["Rafael" <cyberhelp@xxxxxxxxxx>]

Guilherme,

Para o problema 1, observe que os extremos do intervalo 100 e 1000 n�o s�o
m�ltiplos de 11. Mas quais ser�o os mais pr�ximos?

11*9 = 99, que n�o pertence ao intervalo
11*10 = 110, que pertence no intervalo

Ent�o, j� sabemos que o primeiro m�ltiplo de 11 no intervalo � 110.

Analogamente:

11*90 = 990, que pertence no intervalo
11*91 = 1001, que n�o pertence ao intervalo

Pronto, montamos a nossa seq��ncia:

110, ..., 990

Se 110 � o primeiro termo, qual � a posi��o de 990?

990 = 110 + (n-1)*11 ==> n = 81

Assim, a_81 = 990 e a P.A. tem 81 termos, isto �, h� 81 m�ltiplos de 11
entre 100 e 1000.


Sobre o problema 2, vamos passar para o "matematiqu�s":

a_1 + a_2 = 5
a_9 + a_10 = 53

Para que se possa definir bem um termo de P.A. ou de P.G., de que precisamos
saber? Certamente, o primeiro termo e a raz�o. Ent�o, reescreveremos as
equa��es anteriores em fun��o deles:

a_1 + a_1 + r = 5
a_1 + 8r + a_1 + 9r = 53

Ou ainda,

2a_1 + r = 5     (I)
2a_1 + 17r = 53    (II)

Como queremos saber apenas a raz�o, eliminamos 2a1, assim:

(II) - (I): 17r - r = 53 - 5 ==> 16r = 48 ==> r = 3


O terceiro problema � o mais interessante dos tr�s. Vamos escrever as
seq��ncias e calcular o �ltimo termo de ambas:

5, 8, 11, ..., 302    (302 = 5 + 99*3)

3, 7, 11, ..., 399    (399 = 3 + 99*4)

J� sabemos que ambas possuem igualmente o terceiro termo, 11, e que a
segunda seq��ncia cresce mais rapidamente que a primeira ap�s o terceiro
termo. Assim, vamos procurar qual � o termo da segunda seq��ncia mais
pr�ximo do �ltimo da primeira:

302 = 3 + (n-1)*4 ==> n = 75,75

Vemos que o termo mais pr�ximo � o septuag�simo quinto. Vamos calcul�-lo:

a_75 = 3 + 74*4 = 299

N�o deve ser por acaso que o nonag�simo nono termo da primeira seq��ncia �
299 tamb�m, pois 302 - 3 = 299. Assim, j� encontramos o primeiro e o �ltimo
termos que s�o iguais para ambas seq��ncias:

11, ..., 299

Agora, vamos pensar:

a_n = 5 + (n - 1)*3  <==>  a_n - 5 = (n - 3)*3

b_n = 3 + (n - 1)*4  <==> b_n - 3 = (n - 1)*4.

Generalizando,

x_m = x_n + (m - n)*r  <==> x_m - x_n = (m - n)*r

Se ainda n�o parecer claro o que estou pretendendo, l� vai: a diferen�a
entre dois termos de uma P.A. � um m�ltiplo da raz�o; para que os termos das
seq��ncias se "encontrem" (sejam iguais), eles devem ser m�ltiplos de uma
mesma raz�o, no nosso caso, 3 e 4. Humm... m�ltiplos de um mesmo n�mero...
m�ltiplo comum! Sim, � isso! Tudo se passa como se dentro da nossa �ltima
seq��ncia (11, ..., 299) tiv�ssemos "despejado" uma seq��ncia de raz�o 12,
pois mmc(3,4) = 12. Agora, fica f�cil. Qual � a posi��o do �ltimo termo 299?

299 = 11 + (n - 1)*12 ==> n = 288/12 + 1 = 25

Logo, 25 termos s�o iguais para as duas seq��ncias.

Quais s�o eles?

11, 23, 35, 47, 59, 71, 83, 95, 107, 119,
131, 143, 155, 167, 179, 191, 203, 215, 227, 239,
251, 263, 275, 287, 299


Tudo bem, o Mathematica deu uma m�ozinha... ;-D


Abra�os,

Rafael de A. Sampaio





----- Original Message -----
From: Guilherme Teles
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Tuesday, April 06, 2004 10:48 PM
Subject: [obm-l] algumas duvidas de PA


1 - Quantos multiplos de 11 existem entre 100 e 1000

2 - Determine a raz�o de uma PA com dez termos, sabendo que a soma dos dois
primeiros � 5 e a soma dos dois ultimos � 53

3 - As progress�es aritmeticas 5, 8, 11, .... e 3, 7, 11, .... tem 100
numeros cada uma. Determine o numero de termos iguais nas duas progress�es




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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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