Re: [obm-l] Arctg de 1/Fibonacci

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 12.03.04 22:32, Fábio Dias Moreira at fabio.dias@superig.com.br wrote:

> -----BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-----
> Hash: SHA1
> 
> Ricardo Bittencourt <ricbit@700km.com.br> said:
>> Claudio Buffara wrote:
>>> Calcule o valor da soma:
>>> SOMA(n >= 1) arctg(1/F(n)),
>> 
>> Não sei se facilita ou complica, mas e se você criasse
>> uma sequencia c(n) onde c(n)=(F(n)+i) ? Nesse caso, o argumento
>> desse número complexo é arctg(1/F(n)), e a somatória de todos
>> eles é igual ao argumento do produtório de todos os c(n).
>> [...]
> 
> Correto, mas aí o produtório dos c_n não converge. Se d_n = c_n/|c_n|, a idéia
> funciona, mas eu tenho a nítida impressão de que isso dá uma fórmula feia.
> 
> Eu sei provar que o arctg(1/F(3)) + arctg(1/F(5)) + arctg(1/F(7)) + ... vale
> pi/2. A soma dos termos de ordem par parece convergir para um valor próximo
> de, mas certamente menor que, pi/6.
> 
> []s,
> 
> - -- 
> Fábio "ctg \pi" Dias Moreira

Fazendo exploracoes numericas no computador, eu descobri que:
arctg(1/F(2n+1)) = arctg(1/F(2n)) - arctg(1/F(2n+2))   (*)

Desenvolvendo isso, eu cheguei em F(2n+1)^2 = F(2n)*F(2n+2) + 1  (**).
Esta eh a versao para m par da formula razoavelmente conhecida:
F(m+1)^2 = F(m)*F(m+2) + (-1)^m.

Como todos os passos de (*) ateh (**) sao reversiveis, eh possivel comecar
com (**) e chegar a (*). A partir dai, eh soh somar de n = 1 a infinito,
observando que arctg(1/F(2n+2)) -> 0 qundo n -> infinito.

Assim, achamos:
arctg(1/F(3)) + arctg(1/F(5)) + ... = arctg(1/F(2)) = arctg(1) = Pi/4.

Incluindo o tremos arctg(1/F(1)) = arctg(1) = Pi/4, obtemos, finalmente:
SOMA(n>=0) arctg(1/F(2n+1)) = Pi/2, conforme o Fabio disse acima.

****

Um novo problema seria dar uma demonstracao geometrica ou trigonometrica da
expressao (*) acima.


[]'s,
Claudio.



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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