on 09.03.04 13:38, Luiz Ponce at lponce@terra.com.br wrote:caro amigo Claudio , Você pode demonstrar a propriedade: Outra propriedade que vale apenas em espacos vetoriais de dimensao finita eh a seguinte: se T e U sao operadores lineares tais que UT = I, entao TU = I PONCEOi, Ponce: A demonstracao que eu imaginei usa os seguintes fatos: 1) Uma funcao f tem inversa a esquerda <==> f eh injetiva; 2) Uma funcao f tem uma inversa <==> f eh uma bijecao Os dois fatos acima valem pra qualquer funcao e nao apenas pra transformacoes lineares. Os dois abaixo sao especificos de transformacoes lineares. 3) Sejam E e F espacos vetoriais e T:E -> F uma transformacao linear. Entao T eh injetiva <==> Nucleo(T) = {0} 4) Teorema do Nucleo e da Imagem: Sejam E e F espacos vetorias tais que E tem dimensao finita. Seja T: E -> F uma transformacao linear. Entao, dim(Nucleo(T)) + dim(Imagem(T)) = dim(E) Esse teorema eh demonstrado estendendo-se uma base do nucleo(T) ateh uma base de E e aplicando T a uma combinacao linear arbitraria dos vetores dessa base. *** Vamos ao nosso resultado: Seja E um espaco vetorial de dimensao finita e T e U operadoes nesse espaco tais que UT = I. Entao: U eh um inverso a esquerda de T ==> T eh injetivo ==> Nucleo(T) = {0} ==> dim(Imagem(T)) = dim(E) - dim(Nucleo(T)) = dim(E) - 0 = dim(E) ==> Imagem(T) = E ==> T eh sobrejetiva ==> T eh uma bijecao ==> T tem uma inversa T' tal que TT' = T'T = I ==> T' = IT' = (UT)T' = U(TT') = UI = U ==> U eh inversa de T ==> TU = I E acabou... Repare que nao bastava tomar a inversa T' de T e escrever: T' = IT' = (UT)T' = U(TT') = UI = U. Antes, precisavamos provar que T tem uma inversa T'. Finalmente, de posse desse fato, pudemos concluir que U = T'. Espero que tenha ficado claro. Um abraco, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================