Re: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau

["Rafael" <cyberhelp@xxxxxxxxxx>]

Victor,

O teorema das raízes racionais (TRR), diz: "Seja F(x) = a_0*x^n +
a_1*x^(n-1) + ... + a_n = 0, se p/q for raiz de F(x) = 0 de coeficientes
inteiros, então p será divisor de a_n e q será divisor de a_0. Obs.: p/q é
fração irredutível."

Para a equação 4x^2 + kx + 3 = 0, sendo D(n) o conjunto dos divisores de n,

D(3) = {-1,+1,-3,+3}
D(4) = {-1,+1,-2,+2,-4,+4}

As raízes racionais: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/4, -1/4, 3, -3, 3/2, -3/2,
3/4, -3/4

x = 1 ==> k = -7
x = -1 ==> k = 7
x = 1/2 ==> k = -8
x = -1/2 ==> k = 8
x = 1/4 ==> k = -13
x = -1/4 ==> k = 13
x = 3 ==> k = -13
x = -3 ==> k = 13
x = 3/2 ==> k = -8
x = -3/2 ==> k = 8
x = 3/4 ==> k = -7
x = -3/4 ==> k = 7

Logo, existem 6 valores de k para os quais a equação possui raízes
racionais: -13,-8,-7,7,8,13.

Só um comentário final, esse é bem o perfil dos exercícios da maioria das
instituições militares: pouca criatividade e muitas contas. E caso você se
poupe de alguma das contas, "chutando", certamente erra. Além disso, ainda
há uma redundância no enunciado: se as raízes devem ser racionais, para que
exigir k inteiro ou vice-versa? k é coeficiente da equação e, para raízes
racionais, ele será necessariamente inteiro, algo que é garantido pelo TRR.


Abraços,

Rafael de A. Sampaio




----- Original Message -----
From: Victor Machado
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, February 26, 2004 8:12 PM
Subject: [obm-l] Exercicio Colegio Naval 2003 - Equacoes do segundo grau


Olá amigos da Lista, queria lhes agradecer pelas resolucoes enviadas.
Mas gostaria de outra :

(CN-2003) Dada a equação do 2º grau na incógnita x : 4x^2 + Kx + 3 = 0.
Quantos são os valores inteiros possíveis do parâmetro K, tais que essa
equação só admita raízes racionais?

Falaram-me que o exercicio sairia facil pelo teoremas das raizes racionais,
mas nao o conheco... entao peco-lhes : poderiam por a resolucao junto com
uma pequena teoria sobre esse teorema ?

Agradeco desde ja

Victor



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