[obm-l] Re: Geometria Plana

[JoaoCarlos_Junior@xxxxxxxxxxxxx]

Algu�m colocara na lista o exerc�cio que abaixo segue, por�m, cometi o
equ�voco de apag�-lo:

      Dado  um  tri�ngulo  ABC,  as tangentes ao c�rculo circunscrito a tal
  tri�ngulo,  pelos  v�rtices  dos  mesmos, interceptam os lados opostos em
  tr�s pontos distintos. Provar que tais pontos s�o colineares.

      A  solu��o que segue � simples, n�o no sentido de bela, mas devido ao
  uso  de  parcos  conhecimentos  para  inferi-la. Dirigindo-me ao original
  interessado na resolu��o, digo:

      Desenhe  a  figura  ou parte dela. Sejam M, N e P esses pontos: M � a
  intersec��o de AC com a tangente ao c�rculo por B; N � a interse��o de BC
  com a tangente por A, e P � o outro, constru�do de forma semelhante. Seja
  X  a  interse��o  das  tangentes por A e B. Ainda com linguagem, sejam os
  �ngulos: NMB = teta, MNA = alfa, BNP = beta e BPN = delta. Assim:

            Tri�ngulo MNX, teta + alfa = 2C;
            Tri�ngulo PNB, beta + delta = 180 ? B e
            Tri�ngulo MPB, teta + delta = C.

      Logo,  alfa + beta = 180 + C ? B. Como ANB = B ? C, tem-se que alfa +
  beta + ANB = 180. Logo, M, N e P s�o colineares.

      Essa  quest�o  suscitou-me  outras.  Assim,  inquiro ao professores e
  interessados: quais s�o todas as formas, em geometria plana, de se provar
  colinearidade de tr�s pontos? Lembro-me de Simpson. Quais as outras?

  ATT. Jo�o Carlos.





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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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