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[obm-l] Re: Geometria Plana
Algu�m colocara na lista o exerc�cio que abaixo segue, por�m, cometi o
equ�voco de apag�-lo:
Dado um tri�ngulo ABC, as tangentes ao c�rculo circunscrito a tal
tri�ngulo, pelos v�rtices dos mesmos, interceptam os lados opostos em
tr�s pontos distintos. Provar que tais pontos s�o colineares.
A solu��o que segue � simples, n�o no sentido de bela, mas devido ao
uso de parcos conhecimentos para inferi-la. Dirigindo-me ao original
interessado na resolu��o, digo:
Desenhe a figura ou parte dela. Sejam M, N e P esses pontos: M � a
intersec��o de AC com a tangente ao c�rculo por B; N � a interse��o de BC
com a tangente por A, e P � o outro, constru�do de forma semelhante. Seja
X a interse��o das tangentes por A e B. Ainda com linguagem, sejam os
�ngulos: NMB = teta, MNA = alfa, BNP = beta e BPN = delta. Assim:
Tri�ngulo MNX, teta + alfa = 2C;
Tri�ngulo PNB, beta + delta = 180 ? B e
Tri�ngulo MPB, teta + delta = C.
Logo, alfa + beta = 180 + C ? B. Como ANB = B ? C, tem-se que alfa +
beta + ANB = 180. Logo, M, N e P s�o colineares.
Essa quest�o suscitou-me outras. Assim, inquiro ao professores e
interessados: quais s�o todas as formas, em geometria plana, de se provar
colinearidade de tr�s pontos? Lembro-me de Simpson. Quais as outras?
ATT. Jo�o Carlos.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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