|
Oi, Bruno:
Existe um teorema (provado por Gelfond e Schneider)
que diz que se a e b s�o alg�bricos, com a <> 0, a <> 1 e b
irracional, ent�o a^b � transcendente. Uma demonstra��o disso est� contida nas
notas de aula que eu recomendei pro Artur numa mensagem anterior.
Por outro lado, n�o conhe�o nenhum resultado geral
sobre a natureza de a^b quando a e b s�o transcendentes (o que n�o quer dizer
absolutamente nada - um tal resultado pode muito bem existir! Voc� conhece
algum?).
Um argumento de cardinalidade mostra que x^x deve
assumir pelo menos um valor transcendente para algum x transcendente.
Considere a parti��o do intervalo [1,+inf) = A U T,
onde A = conjunto dos alg�bricos no intervalo e T = conjunto dos transcendentes
no intervalo.
Seja F: [1,+inf) --> [1,+inf) dada por F(x) =
x^x. F � claramente uma bije��o.
Como A � enumer�vel, F(A) �
enumer�vel.
Se F(T) s� cont�m n�meros alg�bricos, ent�o
F(T) tamb�m � enumer�vel.
Logo, (1,+inf] = F((1,+inf]) = F(A U T) = F(A) U
F(T) � enumer�vel ==>
contradi��o ==>
F(T) deve conter algum transcendente (de fato, uma
infinidade n�o-enumer�vel deles).
A quest�o que permanece �: existe algum
transcendente x tal que x^x � alg�brico?
O caso x = raiz(2) n�o parece ajudar muito, pois
raiz(2) � alg�brico.
De qualquer forma, o teorema de Gelfond-Schneider
com a = b = raiz(2) mostra que raiz(2)^raiz(2) � transcendente.
Um abra�o,
Claudio.
|