Re: [obm-l] Um problema de probabilidade

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Jan 29, 2004 at 07:11:45PM -0200, Ogama wrote:
> "Considere um bilh�o de n�meros distintos escritos cada um em um de um
> bilh�o de papeizinhos (haja papel!) em um chap�u. Voc� deve retirar um
> papel de cada vez. Voc� deve dizer que voc� encontrou o maior de todos
> os n�meros, logo ap�s retir�-lo. N�o vale dizer que um outro n�mero que voc�
> j� tinha retirado antes � o maior!  A probabilidade de voc� acertar sua
> afirmativa parece muito pequena, n�o? Voc� sabia que voc� pode adotar uma
> estrat�gia de modo que a probabilidade de acertar seja maior que 1/3? Voc�
> deve descartar os primeiros s n�meros, onde s � aproximadamente n/e (e=
> 2,71828... � a constante de Euler), e em seguida, escolher o pr�ximo n�mero
> que for maior que todos os anteriores. Voc� tem probabilidade muito pr�xima
> de 1/e de acertar!"  
...
> SOLU��O: Sejam n= 1000000000, s= maior inteiro menor ou igual a n/e, I_{n}=
> {1, 2,..., n}, binomial(p, q)= p!/(q!*(p- q)!). 
> 
> Em primeiro lugar, se entendi corretamente o enunciado, estamos supondo
> que dentre os s (aproximadamente n/e) elementos descartados n�o se
> encontra o n�mero n pois pelo problema devemos "escolher o pr�ximo n�mero
> que for maior que todos os anteriores." 

Isto n�o � bem assim. Se entre os s primeiros pap�is aparecer o n�mero n
ent�o com esta estrat�gia voc� perde. Voc� tem 1/e de probabilidade de
perder por este motivo.

> Considere os eventos
>  A:= subconjuntos de I_{n} com s elementos que n�o cont�m n; B:= subconjuntos
>  de I_{n} com s elementos que cont�m n-1.  Para que a estrat�gia acima de um
>  resultado positivo � necess�rio que entre os s elementos descartados esteja
>  o elemento n-1.

Tamb�m n�o � bem assim. Se voc� tirar o n-1 entre os s primeiros e n�o tirar
o n, isto garante que voc� ganha. Mas mesmo sem tirar o n-1 entre os s
primeiros ainda � poss�vel ganhar. Suponha que o maior n�mero que voc�
tirou entre os s primeiros foi o n-3: voc� vai anunciar como "o maior"
o primeiro que aparecer dentre n-2, n-1 e n, ou seja, voc� ainda tem 1/3
de probabilidade de ganhar.

[]s, N.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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