Re: [obm-l] probleminha de geometria - escolher resposta

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Esses dados (a,h_a,2p) permitem uma
construcao com regua e comp. do triangulo.

r, r_a, R = raios dos circulos inscrito, exinscrito
e circunscrito.

Como S = ah_a/2 = pr, obtemos r.

2p/a = h_a/r.

Com h_a e r obtemos r_a: (h_a-2r)/r = h_a/r_a.

Com a e (r_a-r) obtemos R:

a^2 = (r_a-r)(4R - (r_a-r)).

Com a,h_a,R a construccao do triangulo eh facil.

O problema possui no máximo uma soluccao.

[]'s
Luis


-----Mensagem Original-----
De: "niski" <fabio@niski.com>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: quinta-feira, 22 de janeiro de 2004 18:53
Assunto: [obm-l] probleminha de geometria - escolher resposta


> Pessoal, tentando resolver o seguinte problema, cheguei em uma duvida,
> se possivel acompanhem meu raciocinio na resolucao do problema, acredito
> que seja simples de seguir.
>
> "Dados a altura, base e o perimetro de um triangulo, determine o
triangulo."
>
>
> Notacao:
> b : base
> h : altura
> a+b+c = 2p : perimetro.
>
> Esboço rudimentar do triangulo:
>
>     B
>     /\
>   a/  \c
>   /____\
> C  b   A
>
> A altura em relacao ao lado AC determina dois segmentos de reta, que vao
> medir b-m e m. Com m < b
>
> Bom, pede-se para determinar os outros lados (a e c) do triangulo em
> funcao de b,h e 2p.
>
> É imediato que
> a = 2p - b - c (I)
>
> Por Pitagoras:
> c^2 = h^2 + m^2
> m = sqrt(c^2 - h^2) (II)
>
> Pela lei dos cossenos:
> c^2 = b^2 + a^2 - 2*a*b*cos(BCA)
> c^2 = b^2 + a^2 - 2*a*b*((b-m)/a))
> c^2 = a^2 - b^2 + 2*b*m (III)
>
> Subistituindo II em III vem:
>
> c^2 = a^2 - b^2 + 2*b*sqrt(c^2 - h^2)
>
> Bem, preciso resolver essa equacao em c, e assim posso subistituir em
> (I) determinando um lado.
>
> O problema é que essa equação biquadrada não é nada simpática de
> resolver, apelei ao Mathematica e ele me apresentou as seguintes
> solucoes (vou reproduzir apenas as solucoes com raizes positivas):
>
> c = sqrt(a^2 + b^2 - 2*sqrt((a^2)*(b^2) - (b^2)*(h^2)))
> ou
> c = sqrt(a^2 + b^2 + 2*sqrt((a^2)*(b^2) - (b^2)*(h^2)))
>
> E agora, qual eu escolho!?
>
> Obrigado a todos, um abraço.
>
> --
> Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski
>
> "When we ask advice, we are usually looking for an accomplice."
> Joseph Louis LaGrange
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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