Re: [obm-l] Provar desigualdades

[Faelccmm@xxxxxxx]

1) a^2 < b^2 se b > a > 0

a^2 - b^2 < 0

(a+b)*(a-b) < 0 

a-b = NEGATIVO (pois b >a)
a+b = POSITIVO (pois b > 0)
Entao:

(a+b)*(a-b) < 0
a^2 < b^2 se b > a > 0



2) a + a^(-1) >= 2 se a > 0

a + 1/a >= 2

Como a esta no denominador ele deverah ser # 0

Caso 1 (a<0)

(negativo) + 1/(negativo) >= 2 (impossivel)

Caso 2 (a>0)

(positivo) + 1/(positivo) >= 2 (OK)

Ps: Mesmo se tivermos um numero positivo bem pequeno a desigualdade sera verdadeira. Veja o caso 0,1:
0,1 + 1/(0,1) >=2 
10,1 >= 2


3) (a + b)/2 >= (ab)^(1/2) se a,b > 0

(a + b)/2 >= sqrt(ab) 

Considerando o conjunto dos reais, temos que ab > 0 pois eh radicando.Logo vamos excluir a hipotese de que a e b possuem sinais opostos. 

Para ab > 0:

a>0 e b>0 (hipotese 1)

OU

a<0 e b<0 (hipotese 2)

A hipotese 2 eh inconveniente, pois:

(a + b)/2 >= (ab)^(1/2) 

(negativo + negativo)/2 >= (negativo)*(negativo)^(1/2) 

negativo >= positivo (IMPOSSIVEL)

Considerando por exclusao a correta eh a hipotese 1, ou faca o mesmo que fiz acima com a hipotese 1 e provar-se-a que:

(a + b)/2 >= (ab)^(1/2) se a,b > 0
 




Em uma mensagem de 16/1/2004 14:31:22 Hor. de verão leste da Am. Sul, victorluiz16@yahoo.com.br escreveu:


> Olá. Estou em dúvida em como provar as desigualdades abaixo, eu cheguei em
> algumas conclusões mas não sei se é essa a prova que pede. Agradeceria
> também se pudessem me explicar mais detalhadamente o que seria "provar" pois
> de vez em quando me surgem algumas dúvidas. Obrigado.
>
> a^2 < b^2 se b > a > 0
>
> a + a^(-1) >= 2 se a > 0
>
> (a + b)/2 >= (ab)^(1/2) se a,b > 0