Re: [obm-l] Norma

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Jan 15, 2004 at 10:11:46AM -0300, Tertuliano Carneiro wrote:
> Olá para todos! Ai vai um problema:
> 
> 
> Seja f:[a,b] em R uma funcao continua. Dada a norma
> //f//=sup{/f(x)/; x em [a,b]}, mostre q ela nao provem
> de um produto interno.
> Obs.: /b/ denota o valor absoluto de b.

Toda norma que provem de um produto interno satisfaz

 |f+g|^2 + |f-g|^2 = 2 (|f|^2 + |g|^2)

como você pode facilmente verificar expandindo os dois lados.
Se você tomar quase quaisquer f e g isto vai dar errado
para a norma C^0 (a que você definiu). Por exemplo, sejam

h(x) = (2x-a-b)/(b-a)
f(x) = (|h(x)| + h(x))/2
g(x) = (|h(x)| - h(x))/2

É fácil verificar que |f| = |g| = |f+g| = |f-g| = 1.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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