[obm-l] Re: Radicia��o em Complexos

[Ricardo Bittencourt <ricbit@xxxxxxxxxxxx>]

jaofisica wrote:

> P�, mas ser� q, mesmo dando um trabalho absurdo, n�o 
> poderiamos fazer umas somas, e arcos "um ter�o" ( n�o 
> sei se tem como ), n�o teriamos como trabalhar, e chegar 
> aos valores dos senos e cossenos dos argumentos das 
> ra�zes, sem ter q saber o argumento do n�mero complexo 
> original?

	Mas n�o precisa de tudo isso... d� pra resolver
algebricamente sem precisar supor nenhum n�mero inteiro.
Seja o numero procurado (a+bi) tal que (a+bi)^3=-11-2i.

	Logo:

	(a+bi)^3=(aaa-3abb)+i(3aab-bbb)

	E portanto:

	aaa-3abb=-11	[I]
	3aab-bbb=-2	[II]

	Mas n�s queremos calcular a raiz c�bica de (-11-2i),
ent�o o modulo de (a+bi) deve ser a raiz c�bica do m�dulo
de (-11-2i):

	(a^2+b^2)=((-11)^2+(-2)^2)^(1/3)=
	          (121+4)^(1/3)=125^(1/3)=5

	Logo a^2+b^2=5 => b^2=5-a^2

	Substituindo em (I):

	a^3 -3a(5 -a^2)=-11
	a^3 -15a +3a^3=-11
	4a^3 - 15a + 11 =0

	Dessa �ltima eq voc� tira que a=1 (se voc� ainda n�o
decorou a equa��o do Cardano, s� precisa notar que a soma
dos coeficientes d� zero). De a=1 voc� substitui e acha b=-2,
concluindo que (-11-2i)^(1/3)=1-2i
	
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Ricardo Bittencourt                   http://www.mundobizarro.tk
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