[obm-l] Re: [obm-l] Dúvida em Função Polinomial

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Oi Oblomov.

TEOREMA. Uma função P polinomial, não constante, é bijetora se e somente se
é monótona.

Suponhamos P função polinomial, não constante e monótona. É um exercício que
está em todos os livros de análise mostrar que P(x) se torna ilimitado
quando x cresce a mais ou menos infinito. Como a função é monótona, ela vai
crescer a mais infinito para um lado e a menos infinito para o outro. A
imagem por P dos reais é conexo, pois R é conexo e P contínua, ilimitado
pelos dois lados, portanto deve ser todo o R, e a função é sobrejetora. Ela
é injetora pois se houvesse x < y com P(x) = P(y) então, pela
monotonicidade, P(z) = P(x) = P(y) para todo x < z < y, o que implicaria P
== cte, contrariando a hipótese. Portanto P é bijetora.

Suponhamos P função polinomial bijetora. Se a função não fosse monótona,
existiriam x < y < z tais que P(x) < P(y) > P(z) ou P(x) > P(y) < P(z). Seja
K um número entre P(x) e P(y) e entre P(x) e P(z). Como P é contínua, pelo
teorema do valor intermediário, existem w e u com x < w < y  e y < u < z
tais que P(w) = K = P(u), contrariando a hipótese de que P é injetora. Ou
seja, a função P é monótona.

E fim...

Uma outra maneira de dizer que P é monótona é dizer que P', a função
derivada, é não-negativa ou não-positiva. Daí podemos tirar um critério
talvez mais pé-no-chão. Encontramos todas as raízes da derivada P' : r_1,
r_2, ..., r_n. Queremos garantir que todos esses pontos são de mínimo local
ou todos são de máximo local. Para isso, eu não conheço um critério geral,
nem sei se existe. CASO as derivadas segundas P''(r_1), ..., P''(r_n)
tiverem todas o mesmo sinal, está garantido que todos os r_i são de extremo
local do mesmo tipo, mas esse não é um critério necessário em geral.

Era algo deste tipo que você queria?

Abraço,
Duda.

From: "Oblomov Insistenko" <rhilbert1990@msn.com>
>
> Alô pessoal,
> alguém aí poderia me dizer qual é a condição para que uma função
polinomial
> seja  bijetora e... provar? Ou seja quero saber quando uma função
polinomial
> tem inversa.
> Obrigado.
> []'



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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