Re: [obm-l] limite de sin(n)^n

[gugu@xxxxxxx]

   Oi Salvador,
   Voce tem toda razao: limsup(sen(n)^n)=1. De fato, pelo menos um entre cada 
dois p_n consecutivos e' impar (segue de p_(-1)=1, p_(n+2)=p_n (mod p_(n+1)). 
Assim, se p_n e' impar e p_(n+1) e' par entao p_(n+2) e' impar. Agora, se p_n 
e' impar mas e' 3 mod 4 entao 3.p_(n+1) e' 3 mod 4 e |2/pi-(3.p_n)/(3.q_n)|=
=|2/pi-p_n/q_n|<1/(q_n)^2, e logo |3.q_n-(3.p_n).pi/2|<3.pi/(2.q_n), e voce 
pode concluir do mesmo jeito.
    Para quem nao sabe direito do que a gente esta' falando, leiam meu 
artiguinho sobre fracoes continuas na Eureka 3...
    Abracos,
             Gugu

P.S.: Acho que da' para mostrar tambem que o liminf e' -1, mas certamente para 
a maioria dos valores de n a sequencia fica bem perto de 0...

Quoting Salvador Addas Zanata <sazanata@ime.usp.br>:

> 
> Caro Claudio,
> 
> Essa problema eh f...
> 
> 
> Para que sin(n)^n de problema, temos que escolher um n
> tal que
> 
> 
>   |n-(pi/2+2pik)| seja pequeno. Isso eh equivalente a:
> 
> 
>   |2/pi.n-(1+4k)| seja pequeno. Como 2/pi eh
> irracional, se existirem
> 
> convergentes pn/qn de 2/pi, tais que pn = 1+4kn,
> entao,
> 
> 
>   |2/pi.qn-(1+4kn)|<1/qn.
> 
> 
> 
> Aqui vou fazer uma hipotese perigosa, que nao pensei
> se eh verdade. Vamos supor
> que existem infinitos convergentes tais que
> pn == 1 mod 4.
> 
> 
> Isto vai implicar, fazendo umas majoracoes chatas, que
> sin(qn) eh aprox. igual a
> (1-c/qn^2), para um c real que nao depende de n.
> 
> Assim, (sin(qn))^qn ~= (1-c/qn^2)^qn, que me parece
> que vai a 1.
> 
> Nao conferi todos os passos, muito menos sei se a
> hipotese sobre os convergentes eh
> verdade, mas parece que esse limite nao existe.
> 
> 
> Abraco,
> 
> Salvador
> 
> 
> 
> 
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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