[obm-l] Re: [obm-l] Interpreta�ao do corpo R[x]/(x^2 + 1)

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

Bom, tente imaginar que o que est� ao lado do '/' � um ideal gerado pelo
polin�mio x�+1, ou seja
<x� + 1> = {(x�+1).f(x), f(x) pertencendo a R[X]}

R[x]/<x^2 + 1> � um anel de polin�mios em x com coeficientes em R, por ser o
quociente de an�is, temos que x�+1 � um elemento neutro, temos ent�o uma
classe de elementos, assim como ter�amos tomando Zn (neste caso ter�amos 1 =
n+1 = 2n+1 = ...).

no caso de polin�mios temos por exemplo que x + 1 = x� + x + 2 = (x� +
1).g(x) + x + 1 = ...
o que significa que as nossas classes de polin�mio podem ser definidas de
forma �nica pelos restos da divis�o de polin�mios de R[X] por x�+1.

� bom explicar isso porque a '/' n�o � uma divis�o de polin�mios nem nada
desse tipo, o conceito � mais geral e sutil.

agora a m�gica da coisa... tome o elemento x + <x� + 1> em R[x]/<x^2 + 1>,
veja que esse elemento � raiz do polin�mio x� + 1, pois (x + <x� + 1>)� =
(x� + 1) + <x� + 1> = 0!

ent�o agora fica simples ver que o elemento x + <x� + 1> � o "i" dos
complexos!
o isomorfismo aparece da�, pois basta ver que os polin�mios desse nosso anel
(que na verdade � um corpo pois x�+1 � irredut�vel) s�o representados por
polin�mios de grau 1 em x, logo s�o da forma ax + b, sabendo que o x e o i
s�o a mesma coisa, vemos que os elementos desse corpo s�o da forma ai + b,
com a e b reais... preciso ser mais formal que isso?

se os corpos s�o isomorfos ent�o sua cardianlidade � a mesma, logo h�
infinitos elementos em C e em R[x]/<x^2+1>.

obs: note que R[x]/<x^2 + 1> � corpo porque x�+1 � irredut�vel...

espero ter ajudado mais do que complicado!

[ ]'s

----- Original Message ----- 
From: "Carlos Ma�aranduba" <soh_lamento@yahoo.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sunday, October 12, 2003 6:44 PM
Subject: [obm-l] Interpreta�ao do corpo R[x]/(x^2 + 1)


Qual sao os elementos de R[x]/(x^2 + 1)???Sao todos
os restos de polinomios de coeficientes reais que sao
divididos por x^2 + 1???Entao esse resto poder� ser um
polinomio???Pq se diz que ele � isomorfo ao corpo dos
complexos???� pq a raiz de x^2 + 1 � i(unidade
imaginaria)???Quantos elementos possui este corpo??

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